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《常微分方程》教学大纲

  发布日期:2015-03-06  浏览量:694


常微分方程》课程是数学与应用数学、信息与计算科学专业、统计学专业必修的专业基础课程.《常微分方程》以学习和逐步掌握常微分方程的基本理论和方法,学习建立和解决确定性数学模型的思想方法,把数学理论和方法运用到解决实际问题工作为逻辑起点,以全日制本科生为讲授对象,是集理论性与应用性为一体的学科.

设置本课程的目的是:使学习者在全面了解常微分方程历史、现状与发展趋势的基础上,系统掌握常微分方程的理论、方法、技术,具备在现代科学技术中分析和解决问题的实际技能,从而胜任在生产实践和科学技术中的工作.

学习本课程的要求是:学习者应熟练掌握各类微分方程的基本解法,理解和掌握常微分方程的基本理论:存在唯一性定理和线性常微分方程的基本理论.了解常微分方程稳定性理论和定性理论初步.

先修课程要求:《数学分析(上、中)》,《高等代数

本课程计划72学时,4学分.

选用教材:王高雄、周之铭等,《常微分方程(第二版)》高教出版社),2002

教学手段:课堂讲授与习题讨论课结合

考核方法:考试

 

 

教学进程安排表

4

周次

学时数

教学方法

备注

1

4

§1.1常微分方程模型§1.2常微分方程的基本概念及发展史

课堂讲授

 

2

4

§2.1变量分离方程与变量变换§2.2线性微分方程与常数变易法

课堂讲授

 

3

4

§2.2线性微分方程与常数变易法(续)§2.3恰当微分方程与积分因子

课堂讲授

 

4

4

§2.4一阶微分方程与参数表示

课堂讲授与习题课

 

5

4

§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法

课堂讲授

 

6

4

§3.2 解的延拓 §3.2 解对初值的连续性与可微性

课堂讲授

 

7

§3.2 解对初值的连续性与可微性(续)

课堂讲授与习题讨论课

 

8

4

§4.1 线性微分方程的一般理论

课堂讲授

 

9

4

§4.1 线性微分方程的一般理论(续)§4.2 常系数线性微分方程的解法

课堂讲授

 

10

4

§4.2 常系数线性微分方程的解法(续)

课堂讲授

 

11

4

§4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法

课堂讲授与讨论课

 

12

4

§5.1 线性微分方程组的存在唯一性定理

课堂讲授与习题课

 

13

4

§5.1 线性微分方程组的存在唯一性定理(续)

课堂讲授

 

14

4

§5.2 线性微分方程组的一般理论

课堂讲授

 

15

4

§5.3 常系数线性微分方程组

课堂讲授

 

16

4

§5.3 常系数线性微分方程组(续)

课堂讲授与习题讨论课

 

17

4

§6.1 非线性微分方程的稳定

课堂讲授

 

18

4

§6.2 V函数方法

课堂讲授

 

 

 

 

第一章  绪论

一、学习目的

通过本章的学习,明确常微分方程研究对象,理解常微分方程的产生与发展过程,掌握常微分方程研究的基本概念.绪论计划4学时.

二、课程内容

1  常微分方程模型

(一)先容物理力学、生物等方面的常微分方程模型

(二)先容建立常微分方程模型的方法

2  常微分方程的基本概念

(一)先容常微分方程的一些基本概念

    常微分方程与偏微分方程,微分方程的阶,隐式方程与显式方程,线性与非线性微分方程.

(二)先容常微分方程解的常识

常微分方程的通解,特解,隐式解,初值问题,定解问题,积分曲线与方向场.

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点是理解常微分方程极其解的概念

(二)难点是建立常微分方程模型的方法

四、思考与练习

本章课后习题

 

第二章  一阶微分方程的初等解法

一、学习目的

通过本章的学习,熟练掌握几类一阶常微分方程如:变量可分离方程,线性微分方程,恰当方程的解法,掌握常数变易法及简单积分因子的求法,掌握一阶隐式方程的参数解法.本章计划12学时.

二、课程内容

1  变量分离方程与变量变换

(一)变量分离方程

变量分离方程 可通过改写为 两边积分的方法求得通解.

(二)可化为变量分离方程的方程

主要先容形如: 的通解求法.

2  线性微分方程与常数变易法

(一)线性微分方程

    线性微分方程 可通过第一节的方法求其通解.

(二)线性微分方程

线性微分方程 利用线性微分方程解的形式

通过常数变易法求通解,常数变易法是求解常微分方程的重要方法

(三)伯努力方程

伯努力方程 通过变量变换变形为线性微分方程求其通解.

3节 恰当方程与积分因子

(一)恰当方程

 先容恰当方程判断方法及通解求法.

(二)积分因子

先容不是恰当方程的微分方程可以通过寻找积分因子化为恰当方程求通解,主要先容两种特殊情形.

4节 一阶隐式微分方程与参数表示

(三)可以解出 (或) 的方程

先容形如: 方程的通解参数表示.

(四)不显含 (或) 的方程

先容形如: 方程的通解参数表示.

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点是掌握变量可分离方程,线性微分方程,恰当方程的解法,以及常数变易法,

(二)难点是常数变易法及一阶隐式微分方程解的参数表示.

四、思考与练习

本章各节课后习题.

第三章  一阶微分方程解的存在定理

一、学习目的

通过本章的学习,理解一阶常微分方程解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路,掌握逐步逼近法,了解解的延拓定理及条件,了解解对初值的连续性与可微性的条件和结论.本章计划12学时.

二、课程内容

1  解的存在唯一性定理与逐步逼近法

(一)解的存在唯一性定理与逐步逼近法

主要先容一阶微分方程 解的存在唯一性定理内容,并

五个步骤完成对解的存在唯一性定理的证明,证明主要采用逐步逼近法.

(二)逐步逼近法求方程的近似解

2节 解的延拓

简单先容解的延拓定理的内容及它的一个有用的推论.

3节 解对初值的连续性及可微性定理

(一)解对初值的连续性定理

讲解一阶微分方程 的解 对初值

的连续性.

(二)解对初值的可微性定理

讲解一阶微分方程 的解 对初值

的可微性,并给出 的计算公式.

 

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点是掌握解的存在唯一性定理、解对初值的连续性定理、解对初值的可微性定理内容及证明,

(二)难点是逐步逼近法.

四、思考与练习

本章各节课后习题

 

第四章  高阶微分方程

一、学习目的

通过本章的学习,掌握n阶齐次(非齐次)线性微分方程解的性质与结构,熟练掌握求n阶常系数齐次线性微分方程的通解n阶常系数非齐次线性微分方程的特解,了解欧拉方程和高阶方程的幂级数解法.本章计划18学时.

二、课程内容

1  线性微分方程的一般理论

(一)齐次线性微分方程的解的性质与结构

     主要先容证明n齐次线性微分方程一定有n个线性无关的解,其通解表示为 ,( 为任意常数).

(二)齐次线性微分方程与常数变易法

       齐次线性微分方程可以利用它所对应的齐次线性微分方程的通解和前面提到的常数变易法来求其一个特解,并利用非齐次线性微分方程通解的结构写出通解.

2  常系数线性微分方程的解法

(一)常系数齐次线性微分方程的解

主要在前一节理论的基础上,探讨如何求一组n个线性无关的解

(二)常系数齐次线性微分方程的解

根据方程右边 的类型讨论其特解所具有的形式,然后带入方程求特解,从而求出其通解.

3  高阶微分方程的降阶和幂级数解法

(一)可降阶的方程类型

主要先容不显含未知数 的微分方程的解法.

(二)二阶线性微分方程的幂级数解法

对这类解法只作简单先容,将有后续课程详细学习.

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点是常系数齐次(非齐次)线性微分方程的解法,

(二)难点是高阶线性微分方程的一般理论.

四、思考与练习

本章各节课后习题.

 

第五章  线性微分方程组

一、学习目的

通过本章的学习,理解线性微分方程组的存在唯一性定理,掌握一阶齐次(非齐次)线性微分方程组解的性质与结构,了解n阶线性微分方程和一阶微分方程组的关系,理解常系数线性微分方程组基解矩阵的概念,掌握求基解矩阵的方法.本章计划18学时.

二、课程内容

1节 存在唯一性定理

(一)记号和定义

     主要先容证明一阶齐次线性微分方程组有关的一些记号和定义,有的是大家以前没有接触到的如,矩阵 的连续性、可微、可积及其范数的概念.

(二)存在唯一性定理

       线性微分方程组存在唯一性定理的证明和第三章第一节一阶微分方程解的存在唯一性定理的证明方法完全一样,只需强调不同之处.

2  线性微分方程组的一般理论

(一)齐次线性微分方程组的解

齐次线性微分方程类似的讨论,先讨论其解的性质,证明其至多有n个线性无关的解向量 ,写出其通解 或者可写为

(三)齐次线性微分方程的解

同样地,与非齐次线性微分方程类似的讨论其性质与解的结构,可用大家前面大家先容的常数变易法计算其一个特解.

3  常线性微分方程组

    (一)矩阵指数expA的定义和性质

要求齐次常系数线性微分方程组 的基解矩阵,必须先了解矩阵指数expA的定义和性质,实际上expAt既为其一基解矩阵.

(二)基解矩阵expAt

主要先容如何通过矩阵A的特征值与特征向量来求expAt

(三)齐次常系数线性微分方程组

用常数变易法计算 的满足初始条件的解.

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点是常系数齐次线性微分方程组的解法,

(二)难点是线性微分方程组的一般理论.

四、思考与练习

本章各节课后习题.

第六章  线性微分方程

一、学习目的

通过本章的学习,理解非线性微分方程的存在唯一性定理,掌握Lyapunov稳定性定义,了解判断Lyapunov稳定性的V函数方法本章计划8学时.

二、课程内容

1节 稳定性

(一)非线性常微分方程组的存在唯一性定理

主要先容与线性常微分方程组的存在唯一性定理类似的定理,可作简要先容,有了前面的常识理解并不难.

(二)稳定性

主要讲解零解稳定性、渐近稳定性、全局稳定性的概念,以及它们的区别与联系.

2  V函数方法

(一)Lyapunov定理

讲解如何利用V函数极其导数来判断方程组 零解稳定性,

这就是Lyapunov定理

(二)V函数的构造

如何构造V函数是一个非常复杂的问题,大家主要讨论常系数线性常微分方程组利用二次型V函数.

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点是稳定性的概念的理解与Lyapunov定理,

(二)难点是如何构造V函数.

四、思考与练习

本章各节课后习题.

 

阅读书目(或参考文献)

[1] 王怀柔、伍卓群,常微分方程讲义,高等教育出版社,2001年.

[2] 叶彦谦,常微分方程讲义,人民教育出版社,1999年.

[3] Л.Э.艾利斯哥尔兹,微分方程,人民教育出版社,1996

[4] 许松庆,常微分方程稳定性理论,上海科技出版社,2003年.

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