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《动力系统初步》教学大纲

  发布日期:2015-03-06  浏览量:1037


 

    动力系统初步》课程是大学数学与应用数学专业高等教育的专业选修课程。动力系统的理论始于Poincare对数学中微分方程的理论研究,它主要研究微分方程解的性态及其结构。随着学科的发展,从物理学及其他各门自然科学、技术科学的实际问题中也相继产生动力系统的模型, 动力系统已经成为纯粹数学的许多分支之一,是自然科学各部门及工程领域之间的一个重要的桥梁。

设置本课程的目的是要求学生基本能够系统地理解、掌握动力系统的基本概念、基本理论和方法。为进一步学习动力系统理论打下基础。

学习本课程的要求是:学习者应掌握动力系统的基本理论、概念和方法。 

先修课程要求:数学分析、线性代数、常微分方程、点集拓扑学

本课程计划40学时,2学分。

选用教材:

张锦炎,钱敏,《微分动力系统导引》,北京大学出版社,2000年。

教学手段:课堂讲授为主,习题课、课外辅导为辅

考核方法:考查

 

教学进程安排表

周次

学时数

教学方法

备注

1

4

第一章 基本常识 古典微分方程的一些结论;线性系统;

讲课

 

2

4

微分动力系统、拓扑共轭、拓扑等价;

第二章 拓扑动力系统概况 拓扑动力系统

讲课

 

3

4

 非游荡点集;动力系统的极小性;

讲课

 

4

4

 拓扑传递性;拓扑混合性;

讲课+讨论

 

5

4

第三章 结构稳定性与双曲性的初步讨论 结构稳定性的概念; 圆周上微分同胚的结构稳定性;

讲课

 

6

4

 环面上的微分方程的结构稳定性;环面上的双曲线性自同构的结构稳定性

讲课

 

7

4

 Smale马蹄定理及其结构稳定性;

讲课

 

8

4

第四章 Hartman定理与稳定流形定理 双曲奇点与双曲不动点;  Hartman定理

讲课

 

9

4

双曲不动点的稳定流形定理;

讲课

 

10

4

双曲闭轨;复习。

讲课+习题

 

 

 

 

第一章  基本常识

一、学习目的

通过本章的学习,理解常微分方程中与动力系统有关的重要结论,掌握双曲线性系统的有关性质,掌握微分动力系统、拓扑共轭、拓扑等价等有关概念。本章计划6学时。

二、课程内容

§1  古典常微分方程中的一些结论

    重要概念:  常微分方程解的存在唯一性、稳定性;

§2  线性系统

重要概念:指数映射,线性向量场的双曲性及其分解定理;

基本理论: 双曲线性映射理论;

§3  微分动力系统、拓扑共轭、拓扑等价

基本理论: 动力系统的概念,动力系统的拓扑共轭与拓扑等价;

 

 三、重点、难点提示和教学手段

(一)微分方程解的存在唯一性与稳定性;

(二)双曲线性映射理论;

(三)动力系统的有关概念;

四、思考与练习

双曲线性映射的分类?

 

第二章  拓扑动力系统概况

一、学习目的

理解拓扑动力系统的非游荡点集、极小性、传递性、混合性等基本概念,以及有关性质和结论。本章计划10学时。

二、课程内容

§1  拓扑动力系统

    基本理论:拓扑动力系统,符号动力系统,环面自同构,转移矩阵;

 

§2  非游荡点集

基本理论:周期点,不动点,极限集,非游荡集,不变集;

 

§3  动力系统的极小性

基本理论:极小动力系统、判定及其有关的性质;

 

§4  拓扑传递性

基本理论:拓扑传递映射性质及其判定;

 

§5  拓扑混合性(2学时)

基本理论:拓扑混合映射性质及其判定;

 

三、重点、难点提示和教学手段

(一) 非游荡集及其性质;

(二) 极小动力系统及其性质;

(三) 拓扑传递性、混合性理论。

四、思考与练习

1.拓扑传递与拓扑混合之间的区别与联系?

2.用本章常识讨论符号动力系统的性质。

 

第三章 结构稳定性与双曲性的初步讨论

一、学习目的

理解动力系统结构稳定性的概念、圆周上的微分同胚的结构稳定性、Smale马蹄定理与Smale马蹄的结构稳定性。了解环面上的动力系统的结构稳定性。本章计划学时 12学时。

二、课程内容

§1  结构稳定性的概念

基本理论:动力系统结构稳定性的概念;

 

§2  圆周上的微分同胚的结构稳定性

基本理论:圆周映射及其有关概念,环面上微分同胚的结构稳定性理论;

 

§3 环面上的微分方程的结构稳定性

基本理论:旋转数,环面上微分方程的基本性质;

 

§4 环面上的双曲线性自同构的结构稳定性

基本理论:同调方程,环面上双曲线性映射的基本性质及其结构稳定性;

 

§5 Smale马蹄定理及Smale马蹄的结构稳定性

基本理论:Conley-Moser条件,Smale马蹄定理,Henon映射,不变集的双曲结构,马蹄映射的结构稳定性;

三、重点、难点提示和教学手段

(一) 圆周映射及其有关性质;

(二) 环面上的双曲线性映射;

(三) 马蹄映射,Henon映射,Conley-Moser条件;

 

四、思考与练习

1.环面映射的双曲性、稳定性如何判定?

2.马蹄映射的不变集为什么是Cantor集?

 

第四章 Hartman定理与稳定流形定理   

一、学习目的

理解Hartman定理与双曲不动点的稳定流形定理。了解双曲闭轨的有关性质。本章计划12 学时。

二、课程内容

§1  双曲奇点与双曲不动点

     基本理论:双曲奇点与双曲不动点概念,动力系统在双曲奇点或双曲不动点附近的性质;

§2  Hartman定理

基本理论:动力系统与其线性系统等价理论,Hartman-Grobman定理;

 

§3  双曲不动点的稳定流形定理

 基本理论:动力系统在双曲奇点或双曲不动点附近的局部稳定、不稳定流形的建立;

 

§4  双曲闭轨

基本理论:管状流,双曲闭轨,结构稳定性,局部稳定、不稳定流形;

三、重点、难点提示和教学手段

(一) 动力系统在双曲奇点或双曲不动点附近的线性化;

(二) 双曲奇点或双曲不动点、双曲闭轨的稳定、不稳定流形定理;

 

四、思考与练习

1Hartman-Grobman线性化定理的应用?

2.如何将双曲闭轨有关问题转化为双曲不动点的问题?

 

阅读书目

1.张筑生,《微分动力系统原理》,科学出版社,1999

2.张锦炎,冯贝叶,《常微分方程几何理论与分支问题》(第二版),北京大学出版社,2000

3.《常微分方程理论中的几何方法》,V.I.Arnold,  SpringerSpringer-Verlag, 1990

 

 

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