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《泛函分析》教学大纲

  发布日期:2015-03-06  浏览量:646


                   前言

《泛函分析》课程是数学和应用数学专业的必修课程,是现代数学中一个较新的重要分支,它综合运用分析、代数和几何的观点与方法来研究分析学中的许多问题.由于运用泛函分析这个工具,引起了微分方程、概率论、群上调和分析的重大发展,使得泛函分析的概念和方法已经渗透现代纯粹及应用数学、理论物理学、力学、工程理论等许多分支.泛函分析是一门重要的数学基础课,这一门课掌握的情况直接影响到将来能否从事高水平的科学研究.

设置本课程的目的是:使学习者在全面了解泛函分析历史、现状与发展趋势的基础上,运用泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构.通过教学,使学生了解和掌握这一学科的基本概念,理论,培养学生的理论思维能力,为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础.

学习本课程的要求是:《泛函分析》是综合运用高等代数、数学分析、实变函数和微分方程的课程, 从而为进一步从事科学研究做准备. 因此学生必须深刻理解并牢固掌握泛函分析的基本概念、重要定理和证明这些定理的思想方法, 培养学生的对无穷维空间的认识,使学生掌握 《泛函分析》的基本思想和基本内容,开阔学生的眼界,丰富学生的数学常识.

 

先修课程要求:《高等代数》,《数学分析》,《实变函数》.

本课程计划: 4学时 72学时,4学分.

选用教材:刘炳初编著,《泛函分析》,科学出版社,2000

教学手段:讲解为主,讲解和讨论相结合.

考核方法:考试.

 

教学进程安排表

周次

学时数

教学方法

备注

1

4

先容《泛函分析》的研究对象及主要内容;引入距离的定义,并先容常见的距离空间;先容按距离收敛的定义及按距离收敛的性质

讲课

 

2

4

讲解作业和习题;先容距离空间中开集和闭集、稠密、可分的概念和性质,常见的可分空间

讲课,习题课

 

3

4

先容Cauchy列的定义,完备距离空间的定义及性质,常见的完备的距离空间,闭球套定理,疏集的定义,第一纲集和第二纲集.距离空间的完备化;压缩映射原理及其应用

讲课

 

4

6

距离空间中紧性的基本概念和性质;C[a,b]中列紧的判别法的重要定理:Arzela定理.讲解课后习题

讲课,习题课

 

5

 

国庆节放假

 

 

6

4

赋范空间的基本概念;Holder Minkowski不等式及由此引入的P方可积函数空间

讲课

 

7

4

赋范空间的性质及有限维赋范空间的性质

讲课

 

8

4

讲解作业及部分课后习题

习题课

 

9

4

有界线性算子及有界线性泛函

讲课

 

10

4

一致有界定理;逆算子的定义及线性算子谱的概念

讲课

 

11

4

开映射定理、闭图象定理Hahn-Banach定理及其推论

讲课

 

12

4

某些赋范空间上有界线性泛函的一般形式

讲课

 

13

4

自反性、弱收敛

讲课

 

14

4

紧算子的定义及性质;讲解作业及部分课后习题

讲课,习题课

 

15

4

内积空间的基本概念和例子;利用内积的定义引入正交性的定义及希尔伯特空间的定义

讲课

 

16

4

希尔伯特空间的性质

讲课

 

17

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