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《复变函数》教学大纲

  发布日期:2015-03-06  浏览量:840


                                   

《复变函数》是数学专业高等教育的基础课程之一,是《数学分析》的后续课程,是集理论性与应用性为一体的学科。通过对本课程基本内容的学习,可以为学生进一步学习其它课程,并为将来从事教学、科研以及其它实际工作打好基础。

通过对本课程的学习,要求学生掌握和理解本课程的基本概念、理论和相关计算的基本方法,使学生受到严格的数学专业中分析的思维方法与技巧的训练。

学习者应该先学习完《数学分析》的相关理论常识以作为本课程的学习基础。在学习本课程的过程,学习者应重视基本概念的正确理解、基本理论的系统阐述以及基本运算能力的培养,注意本课程与《数学分析》相关理论的联系与区别。

本课程的主要内容为复变函数的微分、积分及映照。

 

先修课程要求:《数学分析》

本课程计划72学时,4学分

选用教材:钟玉泉编,《复变函数论》第三版,高等教育出版社,2004

教学方法:课堂讲授为主,习题课、课外辅导为辅

考核方法:考试

 

 

 

 

 

 

   周次

学时数

教学环节

备注

1

4

复数 复平面上的点集 复变函数

讲课

 

2

4

复球面与无穷远点 解析函数的概念与柯西黎曼条件

讲课

 

3

4

初等解析函数 初等多值函数

讲课

 

4

4

初等多值函数

讲课

 

5

4

复积分的概念及其简单性质 柯西积分定理

讲课

 

6

4

柯西积分公式及其推论

讲课

 

7

4

解析函数与调和函数的关系

讲课

 

8

4

复级数的基本性质 幂级数

讲课

 

9

4

解析函数的泰勒展式

讲课

 

10

4

解析函数零点的孤立性及唯一性定理

讲课

 

11

4

解析函数的罗朗展式 解析函数的孤立奇点

讲课

 

12

4

解析函数在无穷远点的性质 整函数与亚纯函数的概念

讲课

 

13

4

残数 用残数定理计算实积分

讲课

 

14

4

辐角原理及其应用

讲课

 

15

4

解析变换的特性 线性变换

讲课

 

16

4

某些初等函数所构成的保形变换

讲课

 

17

4

黎曼存在定理和边界对应定理 解析开拓

讲课

 

18

4

复习 答疑

讲课

 

教学进程安排表


第一章 复数及复变函数

一、学习目的

了解复数的概念及其几种表示形式,了解区域的概念,掌握利用复数的几种形式进行四则运算,掌握一些曲线的复数表示形式。本章计划6学时

二、课程内容

1复数:复数域、复平面、复数的模与辐角、复数的乘幂与方根、共轭复数、复数在平面上的几何上的应用举例。

2 复平面上的点集:平面点集的几个基本概念  区域与约当曲线。

3复变函数:复变函数的概念、复变函数的极限与连续性。

4 复球面与无穷远点:复球面、扩充复平面上的几个概念。

三、教学重点与难点

本章内容的难点是对扩充复平面及无穷远点的理解。复变函数的极限与连续性是教学的重点。

四、思考与练习

教科书中本章节后面的练习

 

第二章 解析函数

一、学习目的  

掌握解析函数的概念,深刻理解Cauchy-Riemann方程。初步了解函数的多值性及其处理方法。本章计划8课时。

二、教学内容

1 复变函数的导数,解析函数及其简单性质,Cauchy-Riemann条件

2 初等解析函数:指数函数、三角函数与双曲函数

3 初等多值函数:根式函数,对数函数,一般幂函数与一般指数函数,具有多个有限支点的情形,反三角函数与反双曲函数

三、重点与难点

解析函数的概念是本章的重要概念,也是复变函数中的特有概念,因此,Cauchy-Riemann方程是学生要掌握是重点。另外,可导与解析两个概念的联系与区别及初等函数中多值函数的理解与处理应为本章的难点。

四、练习与思考

教科书中本章节后面的练习

 

  第三章 复变函数的积分

一、教学目的  

深刻理解并掌握Cauchy定理与Cauchy公式及其由此直接推导出来的解析函数的重要的性质与推论。了解解析函数与调和函数的关系。本章计划14课时。

二、 教学内容

1 复积分的概念及其简单性质:复变函数积分的定义,复变函数积分的计算问题,复变函数积分的基本性质。

2        Cauchy积分定理及其相关证明,不定积分,柯西积分定理的推广,柯西积分定理推广到复围线的情形。

3 Cauchy积分公式及其推论,解析函数的无穷可微性,柯西不等式与刘维尔定理,摩勒拉定理。

4  解析函数与调和函数之间的关系。

三、重点与难点 

Cauchy定理与Cauchy公式是本章的重点与难点,也是本课的重要理论基础。

四、练习与思考

教科书中本章节后面的练习

 

第四章  解析函数的幂级数表示法

一、学习目的 

与研究实变函数时一样,级数和序列是研究复变函数的重要工具。本章应该掌握解析函数的幂级数表示法,掌握Taylor展式及其相关内容,深刻理解并掌握解析函数的零点的孤立性及唯一性定理。本章计划10课时。

二、教学内容

1 复级数的基本性质:复数项级数,一致收敛的复函数项级数,解析函数项级数

2 幂级数:幂级数的敛散性,收敛半径的求法、柯西阿达玛公式,幂级数和的解析性

3 解析函数的Taylor展式:泰勒定理,幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况,一些初等函数的泰勒展式

4解析函数零点的孤立性及唯一性定理:解析函数零点的孤立性,唯一性定理,最大模原理

三、重点与难点

零点的孤立性和唯一性定理、最大模定理为重点,难点是对零点孤立性的深刻理解

四、练习与思考

教科书中本章节后面的练习

 

第五章 解析函数的Laurant展式与孤立奇点(10课时)

一、学习目的 

掌握解析函数在圆环上的Laurant展式及对孤立奇点的分类与其判断方法。本章计划10课时。

二、教学内容 

1 解析函数的Laurant展式:双边幂级数,解析函数的Laurant展式,罗朗级数与泰勒级数的关系,解析函数在孤立奇点领域内的罗朗展式。

2 解析函数的孤立奇点:孤立奇点的三种类型,可去奇点,Schwarz引理,极点,本性奇点,毕卡定理。

3 解析函数在无穷远点的性质。

4  整函数与亚纯函数的概念:整函数,亚纯函数。

三、重点与难点

   对孤立奇点特别是对极点的性质与和判断方法的掌握与理解为重点,对本性奇点的理解为难点

四、练习与思考

教科书中本章节后面的练习

 

  第六章残数理论及其应用

一、学习目的

了解残数的一般理论和应用,能因此计算某些类型的实积分,熟练掌握辐角原理、Rouché定理。本章计划10课时。

二、教学内容

1 残数:残数的定义及残数定理,残数的求法,函数在无穷远点的残数

2用残数定理计算实积分: 型,    型, 型,积分路径上有奇点的积分,应用多值函数的积分

3 辐角原理及其应用:对数残数,辐角原理,Rouché定理

三、 教学重点与难点 

辐角原理与Rouché定理是重点,难点是计算某些类型的实积分

四、练习与思考

教科书中本章节后面的练习

 

第七章保形变换(10课时)

一、教学目的 

保形映照是函数论中最重要的概念之一,它是从物理学中的概念产生的,并且对物理学中的许多概念有重要的应用。例如,应用保形映照成功的解决了流体力学与空气动力学、弹性理论、磁场、电场与势场理论以及其它方面的许多实际问题。因而学习与掌握保形映照是本章的主要目的。

二、教学内容

1 解析变换的特性:解析变换的保域性,解析变换的保角性,导数的几何意义,单叶解析变换的保形性

2线性变换:线性变换及其分解,线性变换的保形性,线性变换的保交比性,线性变换的保圆周性,线性变换的保对称性,线性变换的应用

3 某些初等函数所构成的保形变换:幂函数与根式函数,指数函数与对数函数,由圆弧构成的两角形区域的保形变换

4关于保形变换的Riemann存在定理和边界对应定理

三、练习与思考

教科书中本章节后面的练习

 

  第八章 解析开拓(4课时)

一、学习目的 

了解开拓的一般原理、方法

二、教学内容  

解析开拓:包括利用对称原理开拓及用幂级数的解析开拓;单值性定理

三、教学重点与难点 

重点是掌握两种开拓方法,难点是对开拓的意义的深刻理解

四、练习与思考

教科书中本章节后面的练习

 

阅读书目

[1] 张锦豪、邱维元编,《复变函数论》,高等教育出版社,2001

[2] 史济怀、刘太顺编,《复变函数论》,中国科技大学出版社,2001

[3]  L. Ahlfors ,《复分析》(第三版),  McGraw-Hill, 1979.

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