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《概率论》教学大纲

  发布日期:2015-03-06  浏览量:359



概率论》课程是统计学专业的必修专业课程,也是应用性很强的一门数学课程.它是研究随机现象的数量规律的数学学科,以数学分析与线性代数为前期课程准备.概率论侧重于理论探讨,先容概率论的基本概念,建立一系列定理和公式,寻求解决统计的方法.其中包括随机事件和概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理等内容.近十余年来,概率论发展的主要特点是,随着科学技术的迅速发展,它广泛地应用于金融、保险,证券,工程技术和自然学科中,概率理论与不同的问题结合形成许多分支.

设置本课程的目的是:通过本课程的教学,应使学生掌握概率论的基本概念,了解它的基本理论和方法,从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法,培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力.

学习本课程的要求是:学习者应认识到,统计规律性是概率理论存在的基石,强调面对实际问题,要选择适合问题的概率空间,数学推导是在该公理体系下进行的.应掌握能反映随机现象特性的数字特征常识,它们在概率理论中有着重要地位;掌握特征函数的常识.特征函数和分布函数相互唯一决定,但分析性质优良,在概率理论中地位突出.

先修课程要求数学分析,高等代数,实变函数

本课程计划72学时,4学分

选用教材:李贤平编著,《概率论基础》,高等教育出版社,1997年.

教学手段课堂讲授为主,习题课与讨论课为辅

考核方法考试

 

 

 

 

教学进程安排表

周次

学时数

教学环节

备注

1

2

第一章  ,概率论简史,随机现象,随机现象的统计规律性

讲课

 

1

2

样本空间,随机事件

讲课

 

2

2

古典概型及概率计算

讲课与习题课相结合

 

2

2

二项分布与超几何分布

讲课

 

3

2

几何概率的计算及基本性质

讲课

 

3

2

概率的公理化结构,概率空间

讲课

 

4

2

条件概率,全概率公式

讲课

 

4

2

贝叶斯公式,事件的独立性

讲课

 

5

2

伯努利概型,伯努利分布

讲课

 

5

2

二项分布,几何分布

讲课

 

6

2

二项分布的性质及计算

讲课

 

6

2

泊松分步

讲课

 

7

2

随机变量的定义,分布函数的定义及性质

讲课

 

7

2

离散型随机变量及常见的离散型分布

讲课

 

8

2

连续型随机变量及概率计算

讲课与习题课结合

 

8

2

常见的连续型随机变量

讲课

 

9

2

随机向量定义及分布函数

讲课

 

9

2

随机向量的边际分布

讲课

 

10

2

条件分布,随机变量的独立性

讲课

 

10

2

随机变量函数的分布

讲课

 

11

2

随机向量函数的分布

讲课

 

11

2

随机向量的变换,随机变量函数的独立性

讲课

 

12

2

数学希望的定义及计算

讲课

 

12

2

随机变量函数的希望及希望的性质

讲课

 

13

2

方差的定义和计算,协方差

讲课与习题课结合

 

13

2

相关系数及矩

讲课

 

14

2

特征函数及逆转公式

讲课

 

14

2

唯一性定理,分布函数的再生性

讲课

 

15

2

大数定律及伯努利大数定律

讲课

 

15

2

棣莫弗—拉普拉斯极限定理及应用

讨论课

 

16

2

分布函数的弱收敛,连续性定理

讲课

 

16

2

随机变量的收敛性

讲课

 

17

2

辛钦大数定理

讲课

 

17

2

中心极限定理

讲课

 

18

2

复习

讲课

 

18

2

复习

习题课

 

第一章事件与概率

一、学习目的

通过本章的学习,要认识到统计规律性是概率理论存在的基石,强调面对实际问题,要选择适合问题的概率空间,数学推导是在该公理体系下进行的.熟练掌握在古典概行和几何概型中的概率计算.

二、课程内容

§11 随机事件与统计规律

概率论是研究随机现象的统计规律性的数学分支.随机现象及随机现象的统计规律性.概率论简史.

§12 样本空间与事件

样本点与样本空间及随机事件的概念.事件的运算与运算规律.有限样本空间概念.

§1.3  古典概型

   古典概型及计算,抽签原理,古典概型的基本性质.

§1.4  几何概率

   几何概率的计算及基本性质,蒲丰问题,贝特朗奇论.

§1.5 概率空间

    对概率定义的发展过程,事件域,概率的公理化定义,概率空间.概率的可列可加性和连续性.

三、教学基本要求

理解:随机现象与统计规律性,

掌握:随机事件与运算规律,古典概型,几何概型,概率的公理化定义.

了解:蒲丰问题,贝特朗奇论.

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1样本点与样本空间及随机事件的概念及计算.

2概率的公理化定义.

3 概率空间.

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

五、思考与练习

思考:证明 域之交仍为 域.

 

第二章  条件概率与统计独立性

一、学习目的

    通过本章的学习要掌握几个与条件概率有关的公式,从数学的角度来说建立了严格描述“随机现象”的重复独立试验模型.一些常用的分布被导出,一些数值计算问题被提出.

二、课程内容

      §21 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式

    条件概率的定义及性质,乘法公式.全概率公式,贝叶斯公式

§22 事件独立性

事件的独立性与概率的计算,试验的独立性.

§23 伯努利实验与直线上的随机游动

伯努利概型中的一些分布,包括二项分布,几何分布,巴斯卡分布.

§24二项分布与泊松分布

二项分布的性质及计算,二项分布的泊松逼近,在历史上泊松分布是作为二项分布的近似而引入的.

三、教学基本要求

理解:概率、条件概率的概念,事件的独立性的概念,重复独立试验的概念.
掌握:概率的乘法公式以及全概率公式、贝叶斯公式,二项分布与泊松分布
了解:巴斯卡分布,多项分布

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1 全概率公式、贝叶斯公式.

2事件的独立性,试验的独立性.

3二项分布的泊松逼近

(二)教学手段

课堂讲授与讨论课、习题课相结合

五、思考与练习

思考:事件的独立性在概率计算中的应用

 

第三章  随机变量与分布函数

一、学习目的

通过本章的学习要认识到概率空间在某种意义上和分布函数是等同的,从而把面对实际问题时,选择合适的概率空间,化为选取适合于问题的随机变量或分布函数,这样一来,可借用已掌握的分析常识.本章分绍了多种分布函数,一些求随机变量函数的分布函数的技巧,在概率理论的许多应用中相当重要.

二、课程内容

§31随机变量及其分布

随机变量定义,分布函数的定义及性质,离散型随机变量定义及几种常见的分布,连续型随机变量定义及几种常见的分布,随机变量的概率计算.

§32 随机向量,随机变量的独立性

随机向量的定义及其分布函数,二维随机向量的边际分布,条件分布,随机变量的随机性.

       §33 随机变量的函数及其分布 

博雷尔函数与随机变量的函数,随机变量的函数的分布,随机向量函数的分布. 随机变量的函数的独立性.

三、教学基本要求

理解:随机变量及其分布的概念;分布函数的概念及性质;离散型随机变量及其概率分布的概念;连续型随机变量及其概率密度的概念;二维随机变量的概念;二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本形式;随机变量的独立性.

掌握:计算与随机变量有关的事件的概率;二项分布、泊松(Poisson)分布、超几何分布及其应用;概率密度与分布函数之间的关系;正态分布、均匀分布、指数分布及其应用;离散型联合概率分布和边缘分布、连续型联合概率密度和边缘密度;会利用二维概率分布求有关事件的概率;离散型和连续型随机变量独立的条件;二维均匀分布;随机变量的函数的分布,随机向量函数的分布.

了解:二维正态分布的密度函数;了解其中参数的概率意义.

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1 概率密度与分布函数之间的关系;

2离散型随机变量的联合概率分布和边缘分布、连续型随机变量的联合概率密度和边缘密度;

3随机变量的函数的分布,随机向量函数的分布.

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合.

第四章数字特征与特征函数

一、学习目的

通过本章的学习要掌握一些能“集中”反映随机现象特性的数字特征常识,它们在概率理论中有着重要地位;让学生掌握特征函数的常识.特征函数和分布函数相互唯一决定,但分析性质优良,在概率理论中地位突出.

二、课程内容

§41 数学希望

数学希望的定义及基本性质;随机变量函数的数学希望;随机向量的数学希望定义.

  §42方差,相关系数,矩

方差的定义及性质,车贝晓夫不等式,相关系数,协方差矩阵,矩,条件数学希望.

§45 特征函数

特征函数的定义,一些重要分布的特征函数,特征函数的性质,逆转公式与唯一性定理,分布函数的再生性,多元特征函数.

§46 多元正态分布

密度函数与特征函数,正态变量的线性变换不变性.

三、教学基本要求

理解:随机变量数字特征(数学希望、方差、标准差、协方差、相关系数、矩)的概念及运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征;特征函数的定义及性质;唯一性定理.

掌握:常用分布的数字特征,车贝晓夫不等式;根据随机变量的概率分布求其函数的数学希望;根据随机变量XY的联合概率分布求其函数的数学希望

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1 随机变量数字特征(数学希望、方差、标准差、协方差、相关系数、矩);

2 重要分布的特征函数;唯一性定理.

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

第五章极限定理

一、学习目的

通过本章的学习要掌握统计规律性的数学刻画.统计规律性作为一系列极限定理的特例出现.一方面以理论上得到深化;另一方面,为计算许多有意义事件的概率提供可操作的方法.本章的内容是学习后继课程的重要基础.

二、课程内容

  §51 伯努利实验场合的极限定理

大数定律的一般提法,车贝晓夫大数定律,伯努利大数定律,马尔可夫大数定律,泊松大数定律,大数定律的重要意义,棣莫弗——拉普拉斯极限定理及应用.

§52 收敛性

分布函数的弱收敛,连续性定理,随机变量的收敛性.

 §53 独立同分布场合的极限定理

辛钦大数定律,蒙特卡洛方法,中心极限定理

§54 强大数定律

以概率1收敛,博雷尔——康特立引理,博雷尔强大数定律,科尔莫格罗夫强大数定律.

§55 中心极限定理

林德贝格与费勒条件,林德贝格——费勒定理.

三、教学基本要求

了解:车贝晓夫、伯努利、辛钦大数定律成立的条件及结论,棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理、林德贝格——莱维中心极限定理的结论和应用条件

理解:车贝晓夫、伯努利、辛钦大数定律的直观意义,用相关定理近似计算有关随机事件的概率,随机变量的收敛性.

四、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1 大数定律成立的条件及结论;

2         随机变量的收敛性;

3         中心极限定理.

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合.

阅读书目

1.    王梓坤,概率论基础及其应用,科学出版社,1976

2.    M. Loeve, Probability Theory, 4th edition, Van Nastrand, 1963.

3.  Y. S. Chow, H. Teicher, Probability Theory, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1988.

4.      盛骤,谢式千,潘承毅:概率论与数理统计(第三版).北京:高等教育出版社,2004 

5. 中山大学数学系,《概率论与数理统计》,上册,第二版,高等教育出版社,2004

 

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