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《高等代数(下)》教学大纲

  发布日期:2015-03-06  浏览量:541


                                           前 言

   高等代数(下)》是澳门赌搏网站大全各专业的一门专业基础课程.它是现代数学的一个重要分支,也是离散类数学的主要基础课,因而又是计算机专业以及大部分工科类必修课.作为专业基础课,本课程是向学生先容代数学最基本的概念、理论和方法高等代数中经典理论的思想和常见的解题方法与技巧.

设置本课程的目的是:作为专业基础课,本课程是向学生先容代数学最基本的概念、理论和方法.系统地先容行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间及线性变换、欧氏空间等常识,它不仅是代数学的基础,也是整个数学的基础,要求学生能熟练掌握其原理及方法.

学习本课程的要求是:学习者应理解与掌握高等代数的主要思想与方法,尤其是《高等代数》课程中的经典理论与常用解题方法.

先修课程要求:高等代数(上)

本课程计划:90学时,5学分

选用教材:王萼芳 石生明修订,《高等代数》(第三版),                            (北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编)               高等教育出版社,2003年.

教学手段:课堂讲授为主,习题课与课堂练习为辅

考核方法:考试

 

 

 

 

教学进程安排表

周次

教学内容

授课形式

备注

1

二次型及其矩阵表示,二次型的标准形

理论课

补充矩阵在合同意义下的标准形

2

二次型的秩及复数域和实数域上的规范形

理论课

3

正定二次型,小结及习题课

理论课

4

集合与映射,线性空间的定义及简性质, 线性空间的维数,基与坐标,基变换与坐标变换

理论课

举例,理解线性空间,掌握线性空间及子空间等抽象概念.

5

线性子空间,子空间的交与和,

理论课

6

子空间的直和,线性空间的同构,小结及习题课

理论课

7

线性变换的定义,线性变换的运算,线性变换的矩阵

理论课

多举例子,增加对线性变换的理解,会计算特征值与特征向量.

8

特征值与特征向量,对角矩阵

理论课

9

线性变换的核与值域,不变子空间

理论课

10

先容若当标准形,小结及习题课

理论课

 

11

欧几里得空间的定义与基本性质,标准正交基

理论课

 

12

欧氏空间的同构,正交变换

理论课

13

欧氏空间中子空间的正交关系,实对称矩阵的标准形

理论课

14

向量到子空间的距离,小结及习题课

理论课

15

λ—矩阵,不变因子

理论课

会求不变因子和初等因子、若当标准形.

16

 

矩阵相似的条件,初等因子    

理论课

17

若当标准形的理论推导,矩阵的有理标准形

 

 

18

总复习

集中答疑

 

 

 

 

 

第五章  二次型

一、学习目的

通过本章的学习,要求熟练掌握化二次型为标准形的方法,矩阵的正(负)定性、半正(负)定性的判别与相关应用.本章计划15学时.

二、课程内容

§51 二次型及其矩阵表示

二次型的定义、二次型的矩阵表示.

§52二次型的标准形、规范形

化二次型为标准形的方法:配方法,合同变换法.二次型在复数域与实数域上的规范形.

§53 二次型的(半)正、负定性

二次型正定的充分必要条件及其应用.二次型半正定的充分必要条件及其应用.

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1 化二次型为标准形的两种方法.

2 二次型(半)正定性的判定.

(二)教学手段

课堂讲授,习题课与课堂练习相结合

四、思考与练习

第六章  线性空间

一、学习目的

通过本章的学习,要求理解线性空间理论的思想与方法.熟练掌握几种常见特殊线性空间的维数与基的求法,以及有关坐标的求法与直和问题的证明方法.本章计划15学时.

二、课程内容

§61线性空间的定义与简单性质

集合与映射、线性空间的定义、性质.

§62维数、基与坐标

线性空间的基和维数、基变换与坐标变换

§63 线性子空间

子空间的定义、子空间的交与和

§64 子空间的直和、线性空间的同构

直和的充分必要条件及其应用.有关直和问题的证明方法.两个线性空间同构的定义、性质及判别定理.

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1子空间的基与维数的求法.

2 有关直和问题的证明.

(二)教学手段

课堂讲授,习题课与课堂练习相结合

四、思考与练习

第七章  线性变换

一、学习目的

通过本章的学习,要求理解线性变换理论的思想与方法.熟练掌握线性变换矩阵的求法,有关特征值与特征向量问题的求法与计算,不变子空间的证明方法,有关矩阵相似问题的证明方法.本章计划20学时.

二、课程内容

§71 线性变换的定义及其运算

线性变换定义及相关性质.线性变换的运算.

§72 线性变换与矩阵

线性变换矩阵的求法.

§73 特征值与特征向量

特征值与特征向量的求法.矩阵特征值与特征向量问题的证明方法.

§74  对角矩阵                           

线性变换在某一组基下的矩阵为对角阵的条件.矩阵相似于对角阵的证明方法.

§75线性变换的值域与核  

线性变换的值域与核的定义及求法.

§76不变子空间 

不变子空间的定义、性质及求法.有关不变子空间问题的证明.

§77若当标准形的先容

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1特征值与特征向量的求法.

2有关不变子空间问题的证明.

3两矩阵相似的证明.矩阵相似于对角阵的证明方法.

(二)教学手段

课堂讲授,习题课与课堂练习相结合

四、思考与练习

*第八章  λ-矩阵

一、学习目的

通过本章的学习,要求了解λ-矩阵的概念,矩阵不变因子,行列式因子和初等因子的定义与求法,掌握矩阵相似的充要条件,以及矩阵的Jordan标准形的求法.本章计划15学时.

二、课程内容

§81 λ-矩阵

λ-矩阵,λ-矩阵的秩,λ-矩阵可逆的充要条件及其逆矩阵.

§82  λ-矩阵在初等变换下的标准形

λ-矩阵的初等变换,λ-矩阵的等价关系,λ-矩阵的标准形.

§83  不变因子

行列式因子的概念及其应用,不变因子,不变因子与行列式因子之间的关系.

§84  矩阵相似的条件

矩阵相似的充要条件及其证明.

§85  初等因子

初等因子的概念及其与不变因子之间的关系,初等因子的求法.

§86  Jordan标准形的理论推导

矩阵Jordan标准形的理论推导及求法,Jordan标准形的应用.

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1行列式因子,不变因子,初等因子的定义与求法

2 矩阵相似的充分必要条件.

3 矩阵Jordan标准形的求法.

(二)教学手段

课堂讲授,习题课与课堂练习相结合

* 本章视每学期实际教学时间选讲.

 

第九章  欧氏空间

一、学习目的

通过本章的学习,要求理解欧氏空间理论的思想与方法.熟练掌握有关标准正交基、正交变换与对称变换问题.本章计划20学时.

二、课程内容

§91欧氏空间、内积与标准正交基

欧氏空间的定义与性质,常见欧氏空间中的内积与标准正交基.一般欧氏空间的标准正交基求法.

§92同构 、正交变换

欧氏空间同构的定义、性质.正交变换的定义、性质及应用.

§93 子空间,对称变换

欧氏空间的子空间,子空间的正交补.对称变换的定义、性质及应用.相关问题的证明.

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1常见欧氏空间中的内积与标准正交基

2有关正交变换问题的证明..

3有关对称变换问题的证明

(二)教学手段

课堂讲授,习题课与课堂练习相结合

四、思考与练习

阅读书目

[1] 姚慕生,《高等代数》,复旦大学出版社,1999

[2] 王德生,《高等代数与解析几何》,辽宁师范大学出版社,2005

[3] 丘维声, 《高等代数》,高等教育出版社,1996年版

[4] 黎伯堂,刘桂真,《高等代数解题技巧与方法》,山东科学技术出版社,2003年.

[5] 赵礼峰,《高等代数解题法》,澳门新莆京娱乐网站出版社,2004年.

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