加入收藏  || English Version 
 
《实变函数》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:679


 

                                                          

《实变函数》是澳门赌搏网站大全的重要基础课,也是近代数学中最重要,最基本的一个分支,同时这门课程又是许多后续课程如泛函分析,概率论,微分几何等的基础.

设置本课程的目的是:通过本学科的学习,培养学生逻辑思维能力及论证能力,并用所学的常识解决某些数学分析中遗留下的问题,为日后更高阶段的学习,特别是泛函分析及研究生阶段的实分析学习打下坚实的基础.

设置本课程的要求是:使学生掌握实变函数的基本概念,基本常识,诸如集合论,勒贝格测度论,可测函数,勒贝格可积函数,并了解为什么要引入勒贝格测度,勒贝格可积函数理论及整套理论的系统性.

先修课程要求:《数学分析》、《高等代数》

本课程计划:72学时,4学分,

选用教材:黄仿伦,《实变函数》,澳门新莆京娱乐网站出版社,2000

教学手段:课堂讲授为主,习题课、课外辅导为辅

考核方法:考试

 

 

 

 

 

 

 

 

周次

学时数

         

教学环节

备注

  1

  4

集合及其运算

课堂授课

 

  2

  4

映射与势

课堂授课

 

  3

  4

一维开集、闭集及其性质

课堂授课

 

  4

  4

开集的构造,距离

课堂授课

 

  5

  4

有界开集、闭集的测度及性质

课堂授课

 

  6

  4

可测集及其性质

课堂授课

 

  7

  4

无界点集的测度

课堂授课

 

  8

  4

Lebesgue可测函数及其性质

课堂授课

 

  9

  4

可测函数列的收敛性

课堂授课

 

 10

  4

可测函数的构造

课堂授课

 

 11

  4

Lebesgue积分及其性质

课堂授课

 

 12

  4

积分序列的极限

课堂授课

 

 13

  4

L积分与R积分的比较

课堂授课

 

 14

  4

二重L积分与Fubini定理

课堂授课

 

 15

  4

单调函数的可微性

课堂授课

 

 16

  4

有界变差函数与绝对连续函数

课堂授课

 

 17

  4

空间及其性质

课堂授课

 

 18

  4

空间

课堂授课

 

教学进程安排表

 

 

 

 

 

 

 

 

第一章  集合

一、学习目的

熟练掌握集合的代数运算和极限运算,能应用Bernstein定理确定一些集合的势,熟悉Rn的点集拓扑中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念.

 

二、课程内容

§1集合及其运算

集合的表示法;集合的基本运算;一些常用集合的符号;集合序列的上、下限集.

§2集合的势

势的定义,势的性质,势的比较.常见的两类集合的势.连续势及其基本性质,连续统假设,Bernstein定理

§3 一维空间中的点集

一维空间中集合的内点、边界点、聚点、开集、闭集等概念.Cantor集的构造,直线上开集与闭集的结构.

三、重点、难点提示和教学手段

重点:集合的运算、一一映射的概念、集合的势、势的比较、开集闭集的性质、开集的构造、距离的概念

难点Bernstein定理、聚点导集概念、开集的构造、集合的势

教学手段:课堂授课+习题课训练

四、思考与练习

  思考与练习的内容与形式由任课教师自行决定

第二章Lebesgue测度

一、学习目的

掌握外测度的概念,熟练掌握测度及其性质,熟悉一些重要的可测集类,理解不可测集的典型例子.

二、课程内容

§1有界开集、闭集的测度及性质

有界开集Lebesgue测度定义,有界闭集 Lebesgue测度定义,Lebesgue测度的一些运算性质

                       §2 Lebesgue可测集及其性质

外测度概念,内测度概念.可测集的性质,可测集经交、并、差运算后的可测性,可数个可测集的交集或并集的可测性、可数可加性以及可测集序列的极限之可测性.

              

§3无界点集的测度

无界点集的Lebesgue测度定义,Lebesgue测度的平移不变性,不可测集举例.

三、重点、难点提示和教学手段

重点勒贝格可测集的运算性质,单调可测集列极限的测度,可测集同开集、闭集、 型集以及 型集之间的关系.
    难点可测集概念的引入与可测集的构造

教学手段:课堂授课+习题课训练

四、思考与练习

 

第三章Lebesgue可测函数

一、学习目的

熟练掌握可测函数的概念及其基本性质,正确理解并掌握可测函数列几种不同收敛的概念,了解鲁金定理,知道可测函数同连续函数之间的关系

二、课程内容

§1可测函数的定义及其性质

可测函数的定义及等价条件,连续函数与简单函数皆可测,可测函数关于代数运算和极限运算的封闭性,可测函数同简单函数列的关系.

§2可测函数的收敛性

叶果洛夫定理,依测度收敛,依测度收敛与几乎处处收敛互不包含的例子,勒贝格定理,黎斯定理,依测度收敛极限的唯一性.

§3可测函数的构造

鲁金定理(两种形式)


三、重点、难点提示和教学手段

重点可测函数定义及等价条件,可测函数关于代数运算和极限运算的封闭性,依测度收敛与几乎处处收敛的关系,鲁金定理.
     
难点叶果洛夫定理,黎斯定理,鲁金定理

教学手段:课堂授课+习题课训练

四、思考与练习

 

第四章 Lebesgue积分

一、学习目的

正确掌握积分的定义及其基本性质,牢固掌握并能熟练应用积分的Levi定理,Fatou定理,Lebesgue控制收敛定理,掌握乘积测度和重积分的概念,熟练掌握Fubini定理.

二、课程内容

§1  积分的基本概念及性质

简单函数、非负函数、一般函数积分存在与可积的定义,勒贝格积分的单调性与绝对可积性

§2  积分的极限定理

勒贝格控制收敛定理,勒贝格逐项积分定理,列维渐升函数列积分定理,法都引理,可积函数积分区域可列可加性.

§3  L积分与R积分的比较

区间上有界函数黎曼可积的充分必要条件,黎曼可积是勒贝格可积的联系与关系

§4  重积分和Fubini定理

可测集的乘积的测度,可测集的测度用截口的积分表示,非负函数的积分系,富比尼定理.
                
三、重点、难点提示和教学手段

重点勒贝格积分的性质,积分极限定理
    
难点勒贝格积分的性质及其应用

教学手段:课堂授课+习题课训练

四、思考与练习

 

第五章 微分与不定积分

一、学习目的

掌握有界变差函数与绝对连续函数的概念,掌握有界变差函数的可导性及其正规分解和Lebesgue分解,掌握Newton-Leibniz公式成立的充要条件.

二、课程内容

§1  单调函数的可微性

列导数的概念,Vitali意义覆盖,单调函数的可导性

                    §2  有界变差函数与绝对连续函数

有界变差函数与绝对连续函数的概念以及它们之间关系,有界变差函数的可导性及其正规分解和Lebesgue分解,Newton-Leibniz公式成立的充要条件.

三、重点、难点提示和教学手段

重点:单调函数的可微性,有界变差函数与绝对连续函数的概念,有界变差函数的可导性及其分解,Newton-Leibniz公式,不定积分.

     难点Vitali引理,单调函数的可微性,有界变差函数的可导性及其分解.

教学手段:课堂授课+习题课训练

四、思考与练习

 

第六章 空间

一、学习目的

了解 空间的定义及其意义,熟悉 中的收敛概念,掌握几个常用的重要不等式,了解 的完备性, 的可分性.?

二、课程内容

§1    中的概念

L 范数, Holder不等式,Minkowski不等式.

§2  的收敛性

依范数收敛的定义,依范数收敛与几乎处处收敛的关系, 空间的完备性, 空间的可分性

§3  空间

内积概念,Bessel不等式,Riesz-Fisher定理

三、重点、难点提示和教学手段

重点、难点 的收敛性、Holder不等式和L 空间.

教学手段:课堂授课+习题课训练

四、思考与练习

阅读书目

[1] 徐森林,《实变函数》,中国科学技术大学出版社,2002年.

[2] 周民强,《实变函数》,北京大学出版社,2000年.

[3] 那汤松著,徐瑞云译,《实变函数》,高等教育出版社,1955年.

 

打印此页】【顶部】【关闭
   
版权所有 2019 澳门赌搏网站大全 All rights reserved 皖ICP备05018241号
地址:安徽省合肥市九龙路111号澳门新莆京娱乐网站磬苑校区理工楼H楼 邮编:230601 E-mail:math@ahu.edu.cn
访问统计:自2013年9月1日以来总访问:1000  后台管理


XML 地图 | Sitemap 地图