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《数学分析(上)》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:1393


 

《数学分析(上)》是数学各专业非常重要的一门基础课,许多后续课程都是它的延伸、发展或应用,其主要内容是集合与函数、极限理论、实数系基本定理、函数的连续性和一元函数微分学.通过本课程的学习,学生可以了解和掌握:极限、连续的基本概念及分析方法;一元微分学的基本常识和应用.本课程注重培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力以及综合运用所学的常识分析问题和解决问题的能力,为他们学习《数学分析》的其它内容及现代数学理论打下坚实的基础.

 

先修课程:

本课程计划:96学时,6学分

选用教材:

陈纪修,於崇华,金路,《数学分析(上、下册),高等教育出版社,2004,第二版

教学手段:课堂讲授为主,习题课、课外辅导为辅

考核方法:考试


教学进度表

周次

学时数

主要教学内容

教学环节

备注

3

6

集合及其运算,映射,函数及其简单特性

讲课

 

4

6

实数系的连续性,数列极限的定义与性质

讲课

 

5

6

数列极限运算法则,无穷大量与Stolz定理

讲课

 

6

6

数列的收敛准则

讲课,习题课

 

7

6

数列极限定义、四则运算,单侧极限

讲课

 

8

6

连续函数的定义与运算

讲课

 

9

6

无穷小量、无穷大量的比较

讲课,习题课

 

10

6

闭区间上连续函数的性质

讲课

 

11

6

导数与微分的定义,导数的四则运算法则.

讲课

 

12

6

复合函数求导法,隐函数求导法

讲课

 

13

6

高阶导数与高阶微分

讲课,习题课

 

14

6

微分中值定理,函数单调性与凸性的判断

讲课

 

15

6

L’Hospital法则,Taylor公式

讲课

 

16

6

函数极值,函数最值问题

讲课

 

17

6

函数作图,方程近似解

讲课,习题课

 

18

6

复习

讲课

 

 


第一章 集合与映射

一、学习目的

通过本章学习,了解集合、映射、函数的有关概念与运算,为学习后面的内容作准备.本章计划6学时.

二、课程内容

§1 集合

集合的定义与运算,有限集与无限集,Descartes乘积集合

§2 映射与函数

映射,一元函数,初等函数,函数的分段表示、隐式表示、参数表示,函数的几种简单特性.

三、重点、难点提示和教学手段

重点:映射与函数的概念,初等函数,函数的几种特性.

教学手段:课堂讲授

四、思考与练习

见教材中习题

 

第二章 数列极限

一、学习目的

通过本章的学习,了解数列极限的定义,掌握数列极限的各种求法,了解实数系的连续性及实数系基本定理.本章计划24学时.

二、课程内容

§1 实数系的连续性

实数系概念,数集的上确界与下确界定义,实数系连续性定理——确界存在定理

§2 数列极限

数列的概念、数列极限的定义,数列极限的性质及四则运算

§3 无穷大量

无穷大量的定义,无穷大量与无穷小量的关系,待定型与Stolz定理

§4 收敛准则

单调有界数列收敛定理,极限 ,闭区间套定理,子列的概念及性质,Bolzano-Weierstrass定理,Cauchy收敛原理,实数系基本定理及它们之间的关系.

三、重点、难点提示和教学手段

重点:数列极限概念.性质,数列极限的各种求法(包括利用四则运算,夹逼定理、Stolz定理、单调有界数列收敛定理等)

难点:实数系基本定理:确界存在定理,单调有界数列收敛定理,闭区间套定理,Bolzano-Weierstrass定理,Cauchy收敛原理.这几个定理的证明,相互之间等价关系及它们的应用.

教学手段:课堂讲授

四、思考与练习

见教材中习题

第三章 函数极限与连续函数

一、学习目的

通过本章学习,了解函数极限的概念及各种计算方法,了解无穷大量、无穷小量的比较,理解函数连续性的定义,掌握闭区间上连续函数的性质及其应用.本章计划18学时.

二、课程内容

§1 函数极限

函数极限的定义,函数极限的性质及四则运算,函数极限与数列极限的关系,单侧极限,函数极限定义的扩充

§2 连续函数

连续函数的定义,连续函数的四则运算,不连续点类型,反函数及复合函数的连续性.

§3 无穷小量、无穷大量的比较

无穷小量的比较,无穷大量的比较,等价量

§4 闭区间上连续函数的性质

有界性定理,最值定理,零点存在定理,中间值定理,一致连续概念,Cantor定理

三、重点、难点提示和教学手段

重点:函数极限、函数连续性,闭区间上连续函数的性质.

难点:函数极限的ε—δ语言表达,函数极限与数列极限的关系,一致连续概念,闭区间上连续函数性质的应用.

数学手段:课堂讲授

四、思考与练习

见教材中习题

第四章 微分与导数

一、学习目的

通过本章的学习,了解导数与微分的概念,掌握各种求导法则,了解高阶导数与高阶微分的定义及计算方法.本章计划18学时.

二、课程内容

§1 微分与导数

微分的定义、导数的定义,可导与可微的关系

§2 导数的意义

导数产生的实际背景,导数的几何意义,单侧导数

§3 导数四则运算和反函数求导法

一些简单函数的导数,导数的四则运算法则,反函数求导法,基本初等函数的导数和微分公式.

§4 复合函数求导法及其应用

复合函数求导法则,隐函数求导法,参数形式的函数的求导公式

§5 高阶导数与高阶微分

高阶导数的定义,高阶导数的运算法则,高阶微分

三、重点、难点提示及教学手段

重点:导数与微分的概念,导数的四则运算法则,复合函数求导法,基本初等函数的导数与微分的公式.

难点:微分的概念,复合函数求导法,高阶导数的计算,高阶微分的定义.

教学手段:课堂讲授

四、思考与练习

见教材中习题

第五章 微分中值定理及其应用

一、学习目的

通过本章学习,理解掌握微分中值定理,熟练掌握L’Hospital法则,了解Taylor公式及其应用,学会利用导数研究函数的性质.本章24学时.

二、课程内容

§1 微分中值定理及其应用

函数极值的概念,Fermat引理,Rolle定理、Lagrange中值定理,用Lagrange中值定理讨论函数性质,Cauchy中值定理.

§2 L’Hospital法则

待定型极限与L’Hospital法则,可化为 型或 型的极限

§3 Taylor公式及其应用

Peano余项的Taylor公式,带Lagrange余项的Taylor公式,Taylor公式的应用.

§4 应用举例

函数极值的求法,最值问题,函数作图.

§5 方程近似求解

二分法,Newton迭代法

三、重点难点提示与教学手段

重点:Rolle定理,Lagrang中值定理,Cauchy中值定理,L’Hospital法则,Taylor公式,利用导数讨论函数的单调性、极值、凸性

难点:Taylor公式及其应用

教学手段:课堂讲授

四、思考与练习

见教材中习题


阅读书目

1.《数学分析教程》,常庚哲,史齐怀,江苏教育出版社,1998

2.《数学分析》,北京大学编,高等教育出版社,1986

3.《数学分析新讲》,张筑生,北京大学出版社,1990

4.《微积分和数学分析引论》,R.柯朗,F.约翰著,刘嘉善等译,科学出版社,2001

5.《数学分析简明教程》,邓东皋,尹小玲,高等教育出版社,1999

6.《数学分析习题精解》,吴良森等编著,科学出版社,2002

7.《数学分析中的问题与定理》,G.波利亚,G.金贵,上海科学技术出版社,1981

8.《数学分析习题及其解答》,邹应编著,武汉大学出版社,2001

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