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《数学分析(下)》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:647


                                   

《数学分析(下)》是数学各专业非常重要的一门基础课,许多后续课程都是它的延伸、发展或应用,它的主要内容是多元函数的极限和连续,多元函数微分学与积分学,含参变量积分,Fourier级数。通过对本课程的学习,使学生了解和掌握:多元函数极限、连续的基本概念及分析方法;多元微积分的基本常识和应用。本课程注重培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力以及综合运用所学常识分析问题和解决问题的能力,为他们进一步学习现代数学理论和从事实际应用研究打下坚实的基础。

 

先修课程:数学分析(上),数学分析(中),空间解析几何

本课程计划:108学时,6学分

选用教材:《数学分析(上、下册)》,陈纪修,於崇华,金路,高等教育出版社,2004,第二版

教学手段:课堂讲授为主,习题课、课外辅导为辅

考核方法:考试


教学进度安排表

学时数

教学环节

1

6

nEuclid空间,多元函数的极限

讲课

 

2

6

多元连续函数及其性质,偏导数,方向导数

讲课

 

3

6

多元函数的微分,多元复合函数术导法则

讲课

 

4

6

Taylor公式,隐函数存在定理

讲课,习题课

 

5

6

偏导数在几何上的应用

讲课

 

6

6

无条件极值,条件极值

讲课

 

7

6

重积分的定义、性质、计算

讲课,习题课

 

8

6

重积分的变量转换

讲课

 

9

6

反常重积分的定义与计算

讲课,习题课

 

10

6

第一类曲线积分,第一类曲面积分

讲课

 

11

6

第二类曲线积分,第二类曲面积分

讲课

 

12

6

Green公式,Gauss公式,Stokes公式

讲课

 

13

6

数量场,向量场,梯度,散度,旋度

讲课,习题课

 

14

6

含参变量常义积分,含参变量广义积分一致收敛

讲课

 

15

6

含参变量广义积分的性质,Bata函数与Gamma函数

讲课

 

16

6

Fourier级数,Fourier级数的收敛定理

讲课,习题课

 

17

6

Fourier级数的性质

讲课

 

18

6

复习

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第十一章 Euclid空间上的极限和连续

一、学习目的

通过本章的学习,了解几维欧氏空间的有关概念,理解多元函数极限、连续的定义,掌握计算多元函数极限的方法,了解多元连续函数的性质。本章计划9学时。

二、课程内容

§1. Euclid空间上的基本定理

Euclid空间上的距离与极限,开集与闭集,Euclid空间上的几个基本定理,紧集。

§2. 多元连续函数

多元函数的概念,多元函数的极限,累次极限,多元函数的连续性,向量值函数极限、连续有关概念与结论。

§3. 连续函数的性质

紧集上的连续映射的定义及若干重要性质,连通集与连通集上连续映射的性质。

三、重点、难点提示及教学手段

重点:多元函数的极限、连续,多元连续函数的性质。

难点:多元函数极限的计算,多元连续函数的性质。

教学手段:课堂讲授。

四、思考与练习

见教材中习题

 

第十二章 多元函数微分学

一、学习目的

通过本章的学习,了解多元函数的偏导数、方向导数、全微分的概念及求法,掌握多元复合函数的求导法则,了解多元函数Taylor公式,了解隐函数存在定理及多元隐函数微分法,掌握偏导数在几何上的应用和多元函数极值问题的求法。本章计划27学时。

二、课程内容

§1. 偏导数与全微分

偏导数的概念及基本求法,方向导数的定义及求法,全微分的概念及计算方法,梯度,高阶偏导数与高阶微分,向量值函数的导数。

§2. 多元复合函数的求导法则

多元复合函数求偏导数的链式法则,一阶全微分的形式不变性。

§3. 中值定理和Taylor公式

多元函数中值定理,多元函数Taylor公式。

§4. 隐函数

一元隐函数存在定理,多元隐函数存在定理,多元向量值隐函数存在定理,多元隐函数偏导数求法。

§5. 偏导数在几何中的应用

空间曲线切线和法平面的求法,曲面的切平面及法线的求法。

§6. 无条件极值

无条件植的概念与计算方法,多元函数的最值问题。

§7. 条件极值问题与Lagrange乘数法

条件极值的概念,Lagrange乘数法

三、重点、难点提示和教学手段

重点:偏导数与全微分的概念及求法,链式法则,多元隐函数微分法,Lagrange乘数法。

难点:多元函数的Taylor公式,隐函数存在定理,向量值函数的导数与微分,Lagrange乘数法。

教学手段:课堂讲授

四、思考与练习

见教材中习题

 

第十三章 重积分

一、学习目的

了解二重积分的定义、几何意义及可积性分析,理解n重积分的概念和性质,掌握二重积分、三重积分的各种计算方法,了解简单的n重积分的计算,了解反常重积分概念,会求简要无界区域上反常积分。本章计划18学时。

二、课程内容

§1. 有界闭区域上的重积分

平面上有界点集的面积的定义,二重积分的概念与可积性讨论,n 重积分的概念。

§2. 重积分的性质与计算

重积分的一些基本性质,矩形区域上二重积分的计算,一般区域上的二重积分的计算,三重积分的计算。

§3. 重积分的变量代换

二重积分的变量代换,利用极坐标计算二重积分,三重积分的变量代换,利用柱面坐标及球面坐标计算三重积分,n重积分的变量代换,简单n重积分的计算。

§4. 反常重积分

反常重积分的有关概念,反常重积分的计算

三、重点、难点提示和教学手段

重点:重积分的概念,二重积分、三重积分的计算

难点:重积分的变量代换。

教学手段:课堂讲授

四、思考与练习

见教材中习题

 

第十四章 曲线积分、曲面积分与场论

一、学习目的

了解两类曲线积分、两类曲面积分的概念,掌握曲线积分、曲面积的计算方法,掌握各类积分之间联系及其应用。本章计划24学时。

二、课程内容

§1. 第一类曲线积分与第一类曲面积分

第一类曲线积分的概念与计算,曲面面积的计算,第一类曲面积分的定义与计算方法。

§2. 第二类曲线积分与第二类曲面积分

第二类曲线积分的概念、性质与计算,定向曲面的概念,第二类曲面积分的定义、性质和计算。

§3. Green公式、Gauss公式和Stokes公式

Green公式及其在计算第二类曲线积分中的应用,曲线积分与路径无关的条件,Gauss公式及其应用,Stokes公式及其应用。

§4. 场论初步

数量场、向量场的概念,梯度,通量与散度,环量与旋度,Hamilton计算与Lap lace算子。

三、重点、难点提示和教学手段

重点:两类曲线积分与两类曲面积分的定义与计算,Green公式、Gauss公式、Stokes公式。

难点:两类曲面积分的计算,Green公式,Gauss公式,Stokes公式。

教学手段:课堂讲授

四、思考与练习

见教材中习题

 

第十五章 含参变量积分

一、学习目的

了解含参变量常义积分及反常积分的概念,掌握这两类含参变量积分的分析性质及其应用,了解Bata函数和Gamma函数的定义、性质和应用。本章计划12学时。

二、课程内容

§1. 含参变量的常义积分

含参变量常义积分的定义,含参变量常义积分的分析性质及应用。

§2. 含参变量反常积分

含参变量反常积分的一致收敛概念,一致收敛的判别法,一致收敛的反常积分的分析性质和应用。

§3. Bata函数与Gamma函数

Bata函数的定义及性质,Gamma函数的定义及性质,Bata函数与Gamma函数的关系。

三、重点、难点提示及教学手段

重点:两类含参变量积分的分析性质及应用。

难点:含参变量反常积分一致收敛的判别问题。

教学手段:课堂讲授

四、思考与练习

见教材中习题

 

第十六章 Fourier级数

一、学习目的

了解Fourier级数产生的背景,掌握函数的Fourier级数展开方法,了解Fourier级数收敛性的判别方法以及Fourier级数的性质。本章计划12学时。

二、课程内容

§1. 函数的Fourier级数展开

Fourier级数产生的背景,周期为2π的函数的Fourier级数展开,正弦级数和余弦级数,任意周期的函数的Fourier级数展开。

§2. Fourier级数的收敛判别法

Dirichlet积分,Riemann引理及其推论,Fourier级数的收敛判别法。

§3. Fourier级数的性质

Fourier级数的分析性质,Fourier级数的逼近性质。

三、重点、难点提示和教学手段

重点:函数的Fourier级展开。

难点:Fourier级数收敛性分析。

教学手段:课堂讲授

四、思考与练习

见教材中习题

 

阅读书目

1.《数学分析教程》,常庚哲,史齐怀,江苏教育出版社,1998

2.《数学分析》,北京大学编,高等教育出版社,1986

3.《数学分析新讲》,张筑生,北京大学出版社,1990

4.《微积分和数学分析引论》,R.柯朗,F.约翰著,刘嘉善等译,科学出版社,2001

5.《数学分析简明教程》,邓东皋,尹小玲,高等教育出版社,1999

6.《数学分析习题精解》,吴良森等编著,科学出版社,2002

7.《数学分析中的问题与定理》,G.波利亚,G.金贵,上海科学技术出版社,1981

8.《数学分析习题及其解答》,邹应编著,武汉大学出版社,2001

 

 

 

 

 

 

 

 

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