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《数学分析(中)》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:671


《数学分析(中)》是数学各专业非常重要的一门基础课,许多后继课程都是它的延伸、发展或应用,其主要内容是不定积分、定积分、反常积分、数项级数和函数项级数.通过对本课程的学习,学生可以了解和掌握:一元积分学的基本概念、计算方法及应用,级数理论的基本常识.本课程注重培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力以及综合运用所学常识分析问题和解决问题的能力,为他的学习《数学分析》的后续内容及现代数学理论打下坚实的基础.

 

先修课程:《数学分析(上)》

本课程计划:108学时,6学分

选用教材:《数学分析(上、下册)》,陈纪修,於崇华,金路,高等教育出版社,2004,第二版

数学手段:课堂讲授为主,习题课、课外辅导为辅

考核方法:教考分离


教学进度表

周次

学时数

主要教学内容

教学环节

备注

1

6

不定积分的概念,换元法和分部积分法

讲课

 

2

6

有理函数不定积分的计算及其应用

讲课

 

3

6

定积分的概念,可积性分析(一)

讲课

 

4

6

可积性分析(二),定积分的性质

讲课,习题课

 

5

6

微积分基本定理分部积分与换元法

讲课

 

6

6

定积分在几何上的应用

讲课

 

7

6

定积分在物理上的应用

讲课

 

8

6

反常积分的定义与计算,Cauchy收敛原理

讲课,习题课

 

9

6

反常积分收敛判别法

讲课

 

10

6

数项级数基本性质,正项级数基本收敛判别法

讲课

 

11

6

正项级数其它判别法任意项级数

讲课

 

12

6

莱布尼茨级数,绝对收敛和条件收敛

讲课,习题课

 

13

6

更序级数,级数的乘法,无穷乘积概况

讲课

 

14

6

函数项级数一致收敛问题的提出,基本判别法

讲课

 

15

6

一致收敛的判别法,一致收敛函数项级数的性质.

讲课,习题课

 

16

6

幂级数,函数的幂级数的展开式

讲课

 

17

6

用多项式一致逼近连续函数

讲课,习题课

 

18

6

复习

讲课

 

 


第六章 不定积分

一、学习目的

通过本章的学习,了解不定积分的概念,掌握不定积分的计算方法——换元积分法与分部积分法.本章计划12学时.

二、课程内容

§1 不定积分的概念与运算法则

原函数与不定积分的概念,不定积分的性质,常见函数的不定积分公式

§2 换元积分法与分部积分法

第一类换元法,第二类换元法,分部积分法

§3 有理函数的不定积分及其应用

有理函数的不定积分,可化为有理函数不定积分的情况

三、重点、难点提示和数学手段

重点:不定积分的概念,换元积分法,分部积分法

难点:不定积分的常见技巧,有理函数的不定积分

数学手段:课堂讲授

四、思考与练习

见教材中习题

第七章 定积分

一、学习目的

了解定积分的概念和可积的充要条件,理解微积分基本定理,掌握定积分的计算方法以及定积分在几何和物理上的应用.本章计划30学时.

 

二、课程内容

§1 定积分的概念和可积条件

定积分概念的导出背景,定积分的定义,Darboux和,Riemann可积的充分必要条件

§2 定积分的基本性质

线性性质,乘积可积性,保序性,绝对可积性,区间可加性,积分第一中值定理

§3 微积分基本定理

微积分基本定理——Newton-Leibniz公式,定积分的分部积分法和换元积分法

§4 定积分在几何上的应用

计算平面图形的面积,求曲线的弧长,计算某些特殊的几何体的体积,计算旋转曲面的面积,曲线的曲率

§5 定积分在物理上的应用

微元法,细棒质量的计算,水压力计算,功的计算

三、重点、难点提示及教学手段

重点:定积分的概念、性质、微积分基本定理,定积分的换元法与分部积分法

难点:可积性分析

教学手段:课堂讲授

四、思考与练习

见教材中习题

第八章 反常积分

一、学习目的

通过本章的学习,了解反常积分的定义与计算方法,掌握反常积分敛散性的各种判别法.本章计划24学时.

 

二、课程内容

§1 反常积分的概念和计算

两类反常积分的定义,反常积分的计算

§2 反常积分的收敛判别法

    反常积分的Cauchy收敛原理,非负函数反常积分的收敛判别法,一般函数反常积分的收敛判别法,无界函数反常积分的收敛判别法

三、重点、难点提示及教学手段

重点:反常积分的定义计算,反常积分分敛散性的判断方法

难点:反常积分敛散性的判断

教学手段:课堂讲授

四、思考与练习

见教材中习题

第九章 数项级数

一、学习目的

通过本章的学习,了解无穷级数的概念,理解无穷级数的有关性质,掌握数项级数敛散性的判别方法.本章计划24学时.

 

二、课程内容

§1 数项级数的收敛性

数项级数的定义,级数的基本性质

§2 数列的上极限与下极限

    数列上、下极限的概念,上、下极限的性质与运算

§3 正项级数

正项级数的收敛原理,比较判别法,Cauchy判别法与D’Alembert判别法,Raabe判别法,积分判别法

§4 任意项级数

级数的Cauchy收敛原理,Leibniz级数,Abel判别法与Dirichcet判别法,级数的绝对收敛与条件收敛,更序级数,级数的乘法

§5 无穷乘积

无穷乘积的定义,无穷乘积收敛性的一些简单的判别法,Stirling公式

三、重点、难点提示及教学手段

重点:正项级数及任意项级数收敛性判别法

难点:数列的上、下极限,A-D判别法、更序级数,级数的乘法

教学手段:课堂讲授

四、思考与练习

见教材中习题

第十章 函数项级数

一、学习目的

通过本章的学习 理解函数列和函数项级数一致收敛的概念,掌握一致收敛的函数项级数的判别法及性质,掌握幂级数基本常识及函数的幂级数展开.本章计划24学时.

 

二、课程内容

§1 函数项级数的一致收敛性

点态收敛性,函数项级数(或函数列)的基本问题,函数项级数(或函数列)的一致收敛性

§2 一致收敛级数的判别与性质

一致收敛的判别,一致收敛级数的性质,Dini定理

§3 幂级数

幂级数的概念及收敛半径,幂级数的性质.

§4 函数的幂级数展开

Taylor级数与余项公式,初等函数的Taylor展开,幂级数在近似计算中的应用

§5 用多项式逼近连续函数

多项式一致逼近的概念,Weierstrass第一逼近定理

三、重点、难点提示和教学手段

重点:函数项级数一致收敛的概念、判别、性质,幂级数的性质

难点:一致收敛的概念、判别、性质、函数的幂级数展开

教学手段:课堂讲授

四、思考与练习

见教材中习题

阅读书目

1.《数学分析教程》,常庚哲,史齐怀,江苏教育出版社,1998

2.《数学分析》,北京大学编,高等教育出版社,1986

3.《数学分析新讲》,张筑生,北京大学出版社,1990

4.《微积分和数学分析引论》,R.柯朗,F.约翰著,刘嘉善等译,科学出版社,2001

5.《数学分析简明教程》,邓东皋,尹小玲,高等教育出版社,1999

6.《数学分析习题精解》,吴良森等编著,科学出版社,2002

7.《数学分析中的问题与定理》,G.波利亚,G.金贵,上海科学技术出版社,1981

8.《数学分析习题及其解答》,邹应编著,武汉大学出版社,2001

 

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