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《数学分析续论》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:534


 前言

数学分析续论》课程是数学与应用数学、统计学和信息与计算科学专业的选修课程.《数学分析续论》以数学分析为起点的,"数学分析"是数学系本科生一门重要的基础课,恰当的习题配置和解题引导是数学分析教材不可或缺的一部分.事实上,学生要想较熟练地掌握数学分析的思想、方法和技巧,非要做一定数量的习题不可.本课程是数学分析的后续课程,结合数学其他课程,如:高等代数、空间解析几何、常微分方程等一门学科.辅导怎样""题的同时,还通过"敲条件,举反例"等方式引导学生如何""问题,就是如何给自己"提问题"

设置本课程的目的是:一方面使学生学好作为数学基础的数学分析,以便为以后进一步学习;另一方面培养学生理论联系实际和分析问题、解决问题的能力,会用数学其他分支解决数学分析重点和难点问题.

学习本课程的要求是:学习者应应了解与数学分析的概念与方法,会用高等代数、空间解析几何、常微分方程的方法解决数学分析的重点和难点问题.注意培养学科结合交叉应用的能力,从具体到抽象的能力.

先修课程要求:数学分析,高等代数,空间解析几何,常微分方程.

本课程计划54学时,3学分,每周3个课时.

选用教材:林源渠.方企勤著,数学分析解题指南,北京大学出版社.20045月.

教学手段:课堂讲授为主,习题课,试卷为辅

考核方法:闭卷书面考试

 

 

 

 

 

教学进程安排表

周次

学时数

教学方法

1

3

先容不等式的各种求解方法:初等方法,导数方法,强调积分方法.讲解北京大学考研试题一套.

讲课与习题课相结合

2

3

先容求极限的简单方法:定义法,几何比率方法和单调有界方法.讲解北京大学考研试题一套.

讲课与习题课相结合

3

3

先容求极限的高级方法:Stocks公式,极限与其它常识混合问题的求解方法.讲解北京大学考研试题一套.

讲课与习题课相结合

4

3

讨论连续函数的有关性质.讲解北京大学考研试题一套.

讲课与习题课相结合

5

3

讨论一致连续函数的有关性质.讲解北京大学考研试题一套.

讲课与习题课相结合

6

3

导数的定义和计算,讲解北京大学考研试题一套.

讲课与习题课相结合

7

3

用常微分方程求解方法证明Lagrange一类问题的求解.讲解中科大考研试题一套.

讲课与习题课相结合

8

3

讨论有关多项式一类问题的求解方法.讲解中科大考研试题一套.

讲课与习题课相结合

9

3

极值问题,讨论了二次规划的求解方法.讲解中科大考研试题一套.

讲课与习题课相结合

10

3

先容级数的有关性质及其证明方法.讲解中科大考研试题一套.,

讲课与习题课相结合

11

3

先容Taylor级数和Fouier级数.讲解中科大考研试题一套.

讲课与习题课相结合

12

3

基于定积分性质的证明.讲解中科大考研试题一套.

讲课与习题课相结合

13

3

多元函数的性质,讲解中科院考研试题一套.

讲课与习题课相结合

14

3

积分交换,讲解中科院考研试题一套.

讲课与习题课相结合

15

3

基于对称性的积分求解方法,讲解中科院考研试题一套.

讲课与习题课相结合

16

3

实变和泛函分析有关题目,讲解中科院考研试题一套.

讲课与习题课相结合

17

3

偏微分方程有关求解方法(一),讲解中科院考研试题一套.

讲课与习题课相结合

18

3

讲解考研试题两套

讲课与习题课相结合

19

3

讲解考研试题两套

讲课与习题课相结合

20

3

讲解考研试题两套

讲课与习题课相结合

第一章  不等式

一、学习目的

不等式的证明是数学中的一个重要的问题.在数学分析中,不等式的证明不仅有初等的方法和基于导数的Lagrange公式,也还有积分的方法.本讲先容不等式证明的一些方法.着重强调用积分的方法来证明不等式.对涉及到Taylor级数展开式的不等式证明将在后面先容.本章计划6学时.

二、课程内容

§1.1  数学归纳法

在证明含有自然数的不等式中,数学归纳法是首先考虑到的证明方法.

§1.2  初等证明方法

在不等式证明,以及一切数知识题的解答中,将问题变换成等价的简单的形式,对问题的解决会有意想不到的结果.

§1.3  Lagrange中值定理

Lagrange中值定理是证明不等式最强有力的工具,相信读者对此非常熟悉.

§1.4  积分

将不等式转化为函数的积分表达式,利用积分的性质证明,是不等式证明的另一种重要的证明方法.

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点


1 数学归纳法;

2、初等证明方法;

3Lagrange中值定理;

4、积分.


(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合.

四、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

第二章  数列和函数的极限

一、学习目的

极限是数学分析中的最重要的也是最基本的概念,本章先容各种求极限的方法,希翼能加强读者对极限的理解.在这里大家将数列和函数的极限一起讨论,包含函数连续性的证明.通过本章的学习,熟练掌握求极限的几种简单方法:定义法,几何比率方法,单调有界方法,Stocks公式,极限与其它常识混合问题的求解方法.本章计划6学时.

二、课程内容

§2.1  几何数列

对于一般由递推公式 给出的数列,大家可以求出 的解,然后证明数列 是比率小于1的几何数列来证明 .利用几何级数的比率小于1来证明级数收敛是一个非常有效,且也是简单的方法

§2.2  夹逼定理

利用夹逼定理来求极限的关键是寻求数列的上下界,然后证明数列的上下界收敛到同一个数值.

§2.3  单调有界有极限定理

利用单调有界有极限定理求极限.

§2.4  利用Taylor级数

利用函数的Taylor级数展开式求极限也是一种有效的方法,特别对一些问题,利用一般的夹逼方法是无效的情形.

§2.5  利用Stocks公式

利用Stocks公式求极限也是一种有效的方法

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点


1几何数列

2夹逼定理

3单调有界有极限定理

4Taylor级数

5Stocks公式.


(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合.

四、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

第三章  连续函数和一致连续函数

一、学习目的

通过本章的学习,要求理解连续函数的有关性质和一致连续函数的有关性质,掌握连续函数和一致连续函数的联系和区别.本章计划6学时.

二、课程内容

§3.1  连续函数的有关性质

熟练掌握连续函数的几种性质.熟练应用连续函数的性质解题.

§3.2  一致连续函数的有关性质

熟练掌握一致连续函数的几种性质.熟练应用一致连续函数的性质解题,并注意区分连续函数和一致连续函数,以及比连续函数更好的性质.

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点


1连续函数的有关性质

2致连续函数的有关性质

3连续函数和致连续函数的联系和区别


(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

四、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

第四章  级数

一、学习目的

通过本章的学习,熟练掌握级数的收敛性、级数的和的概念,收敛级数的基本性质,Gauchy收敛法则.正项级收敛判别法:比较法、比式法与根式法.一般级数的绝对收敛与条件收敛;交错级的莱布尼兹判别法;一般级数的阿贝尔判别法与狄里克勒判别数法;绝对收敛级数的重排定理.本章计划6学时.

二、课程内容

§4.1  数项级数

熟练掌握级数的收敛性、级数的和的概念,收敛级数的基本性质,Gauchy收敛法则.正项级收敛判别法:比较法、比式法与根式法.一般级数的绝对收敛与条件收敛.交错级的莱布尼兹判别法.一般级数的阿贝尔判别法与狄里克勒判别数法.绝对收敛级数的重排定理.

§4.2  函数列与函数项级数

熟练掌握函数列与函数项级的收敛与一致收敛概念.一致收敛的Gauchy优级数判别法,函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项可积性与逐项可微性.

§4.3  幂级数

熟练掌握阿贝尔第一定理;收敛半径与收敛区间;一致收敛性;连续性;逐项积分与逐项微分;四则运算;泰勒级数;泰勒展开条件;初等函数的泰勒展开;近似计算(包括e, л的近似计算与e的无理性证明).

§4.4  Fouier级数

熟练掌握三角级数.三角函数系的正交性.傅立叶级数.奇函数与偶函数的傅立叶级数.以为周期的函数的傅立叶级数的收敛性定理. 按段光滑且以为周期的函数展开为傅立叶级数的收敛性定理.

§4.5  Taylor级数

熟练掌握Taylor公式,Taylor公式的余项(皮亚诺型与拉格朗日型),一些初等函数的Taylor级数展开式.

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1数项级数

2函数列与函数项级数

3幂级数

4Fouier级数及其展开式

5Taylor级数及其展开式

6条件收敛、一致收敛、和函数的分析性质.

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

四、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

第五章  曲线积分、曲面积分与场论

一、学习目的

通过本章的学习,要求理解第一、二类曲线积分与曲面积分的概念;掌握利用Green公式、Gauss公式和Stokes公式计算曲线积分与曲面积分的方法;理解曲线积分与路径无关的条件;理解梯度、通量与散度、向量线、环量与旋度的概念.本章计划6学时.

二、课程内容

§5.1  第一类曲线积分与第一类曲面积分

第一类曲线积分的概念;第一类曲线积分的性质:线性性与路径可加性;第一类曲线积分的计算公式及其应用;用微元法计算曲面的面积;第一类曲面积分的概念、计算及应用.

§5.2  第二类曲线积分与第二类曲面积分

第二类曲线积分的概念及性质:方向性、线性性与路径可加性;第二类曲线积分的计算公式及其应用;理解曲面的侧的相关概念及应用;第二类曲面积分的概念及性质:方向性、线性性与曲面可加性;第二类曲面积分的计算及应用.

§5.3  Green公式、Gauss公式和Stokes公式

Green公式的形式及意义;Green公式与Newton-Leibniz公式的关系;用Green公式计算曲线积分及求区域的面积;曲线积分与路径无关的条件及其应用;Gauss公式及其应用;Stokes公式及其应用;Green公式、Gauss公式和Stokes公式三者之间的关系.

§5.4  微分形式的外微

了解外微分的概念及性质;外微分的应用.

§5.5  场论初步

梯度、通量与散度、向量线、环量与旋度的概念、意义、计算及简单应用;Hamilton算子及调和函数的概念与计算;Green第一公式和Green第二公式;场论中的一些基本关系式;保守场与势函数的概念;保守场与有势场的关系.

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1第一、二类曲线积分与曲面积分的概念与计算

2Green公式Gauss公式Stokes公式及其应用

3梯度、通量与散度、向量线、环量与旋度的概念及应用

4微分形式的外微分及其应用

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

四、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

第六章  多元函数

一、学习目的

通过本章的学习,准确掌握偏导数和高阶偏导数的概念与计算;理解方向导数﹑梯度﹑切线与法平面的概念;掌握隐函数及多元复合函数的求导法则;无条件极值与条件极值的计算方法.本章计划6学时.

二、课程内容

§6.1  二元函数

掌握二元函数概念,二重极限,累次极限,二重极限与累次极限的关系,二元函数的连续性、复合函数的连续性定理、有界闭域上连续函数的性质,二元函数的泰勒定理,二元函数的极值.

§6.2  偏导数与全微分

偏导数﹑方向导数﹑梯度与全微分的概念;函数的偏导数﹑方向导数﹑梯度﹑全微分及高阶偏导数与高阶微分的计算;向量值函数的导数及其计算.

§6.3  多元复合函数求导法则

复合函数的求偏导的链式法则;利用链式法则求函数及向量值函数的偏导数;一阶全微分的形式不变性.

§6.4  偏导数与在几何中的应用

空间曲线的切线与法平面的概念及对应的切线与法平面方程的计算;曲面的切平面与法线的概念;会计算曲面在给定点处的切平面与法线方程;偏导数与在几何中的其它应用.

§6.5  条件极值问题与Lagrange乘数法

Lagrange乘数法及条件极值的必要条件;函数的条件极值与最值的计算;条件极值在几何﹑不等式及其它实际问题中的应用.

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1偏导数和高阶偏导数

2全微分的意义及其几何意义

3微分、偏导数与连续三者之间的关系

4隐函数的导数

5无条件极值与条件极值的求法

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

四、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

阅读书目(或参考文献)

[1]. 陈纪修 於崇华 金路著,数学分析:上下册(第二版),高等教育出版社2004

[2].裴礼文著,数学分析中的典型问题和方法,高等教育出版社,20033月.

[3].吉米多维奇ПДЕМИДОВИЧ)著,Б.П.吉米多维奇数学分析习题集题解,山东科学技术出版社,20051月.

[4].明清河著,数学分析的思想与方法,山东科学技术出版社,20054月.

[5].()Walter Rudin 著,数学分析原理(英文版·3版),机械工业出版社,20041月.

[6].数学分析简明教程,常庚哲.徐森林,中国科学技术大学出版社,1998

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