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《数值分析》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:1221


 

《数值分析》课程是计算机科学与技术专业高等教育的专业基础课程,是计算机科学与数学相结合而产生的一门课程。数值分析是研究如何用计算机解决各种数知识题的科学,它的核心是提出和研究求解各种数知识题的高效而稳定的算法。高效的计算方法与高效的计算机是同等重要的,科学计算作为认识世界改造世界的一种重要手段,已与理论分析、科学实验共同成为当代科学研究的三大支柱。《数值分析》课程的内容是各类科学计算和工程计算中的一些最基本的概念、计算方法和理论分析。

设置本课程的目的是:使学生正确地理解有关数值分析的基本概念和理论,了解数值计算的基本思想,掌握经典的常用的基本数值计算方法,并运用这些方法通过编制计算机程序去解决所遇到的问题,从而培养学生用计算机从事科学与工程计算的能力,为以后的学习和工作提供必要的基础。

学习本课程的要求是:学习者应掌握科知识题数值计算的基本概念,计算方法设计的思路与规律,从数学模型到实际计算的要求与途径。掌握多项式求值的基本方法,非线性方程的数值解法,函数的数值逼近,数值微分,数值积分,数值线性代数,常微分方程的数值解法,曲线拟合等方面的基本计算方法与公式。掌握对数值计算的准确性、收敛性的分析的基本方法与基本理论。掌握科学计算基本问题的程序设计方法,具有实际编程计算解决问题的能力。

先修课程要求:本课程要求学生具有微积分、线性代数常识,并具备编程能力。

本课程计划72学时,3学分,实验课18学时。

选用教材:

Numerical Methods Using Matlab (Fourth Edition)John H. Mathews & Kurtis D. Fink中译本:电子工业出版社,200512

教学手段:多媒体教学

教学方法:整个教学过程由授课、实验、作业和自学四个环节组成。

考核方法:闭卷考试

 

 

 

 

 

教学进程安排表

周次

学时数

教学主要内容

教学环节

   

1

4

1  预备常识

1.1多项式求值

1.2误差分析

理论课

 

2

4

2章 非线性方程 的解法

2.1 求解 的迭代法

 

理论课

 

3

4

2.2 求根的二分法和试位法

 

理论课

 

4

43

2.4 牛顿-拉夫森法和割线法

实验:熟悉matlab环境、求根的二分法计算

 

理论课+实践教学

 

5

4

3章 线性方程组 的数值解法

3.4 高斯消元法和选主元

 

理论课

 

6

43

3.5 三角分解法

3.6 求解线性方程组的迭代法

实验:Gauss消元法解线性方程组的计算

 

理论课+实践教学

 

7

4

3.6.3收敛性

4章 插值与多项式逼近

4.1 Taylor级数和函数计算

 

理论课

 

8

43

4.2 插值先容

4.3 拉格朗日逼近

实验:拉朗格朗日逼近计算

 

理论课+实践教学

 

9

4

4.4 牛顿多项式

 

理论课

 

10

4

5章 曲线拟合

5.1 最小二乘拟合曲线

 

理论课

 

11

43

5.2 曲线拟合

实验:最小二乘拟合计算

理论课+实践教学

 

12

4

5.3 样条函数插值

理论课

 

13

4

6章 数值微分

6.1 导数的近似值

6.2 数值差分公式

 

理论课

 

14

43

7章 数值积分7.1 积分先容

7.2 组合梯形公式和辛普森公式

实验:组合公式计算积分

理论课+实践教学

 

15

43

7.3 递归公式和龙贝格积分

实验:Romberg积分计算

理论课+实践教学

 

16

4

8章 微分方程求解

8.1 微分方程导论

8.2 欧拉方法

理论课

 

17

4

8.3 龙格-库塔方法;

理论课

 

18

4

复习总结

理论课+习题课

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第1章 预备常识

一、学习目的

通过本章的学习,掌握多项式求值的霍纳方法,理解误差分析的基本概念。本章是数值分析课程的最基础的内容之一。本章计划讲授4课时。

二、课程内容

1、先容数值计算产生的背景

   科学计算、科学理论与科学实验是科学活动的三大内容,作为计算机专业的学生必须掌握数值分析的基本内容

2、本课程主要先容的内容以及怎样学习该门课程

3、多项式求值问题的引入,用于多项式计算的霍纳方法,

4、误差分析

误差,误差限,相对误差,相对误差限, 位有效数字的概念

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点:误差分析的方法及理论,利用霍纳方法对多项式求值

(二)难点:序列收敛性的分析与判断。

四、思考与练习

1、比较绝对误差,相对误差的概念

2、利用霍纳方法求解P(c)

   ,

第2章   非线性方程的数值解法

一、学习目的

通过本章的学习,掌握求解非线性方程的迭代法,二分法,牛顿拉夫申法及割线法的原理和计算公式,了解每种方法的收敛性及其特点。本章计划讲授12学时,上机实验3学时。

二、课程内容

1、迭代法

迭代法的具体步骤,理论推导及应用举例

2、二分法

二分法的具体步骤,理论推导及应用举例。

3、牛顿-拉夫申法

Newton迭代法的具体步骤,理论推导及应用举例.

3、割线法

割线法的具体步骤,理论推导及应用举例。

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点: 对迭代法,二分法,牛顿法的原理及公式的理解掌握

(二)难点:各种方法的收敛性的比较

四、思考与练习

1、用迭代法求方程 附近的根。

 

第3章  线性代数方程组的解法

 

一、学习目的

通过本章的学习,理解和掌握Gauss消元法;掌握解三对角线方程组的追赶法;掌握解线性方程组的LU分解方法;掌握解线性方程组的Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法;了解判别解线性方程组的迭代法的收敛性的理论与方法,初步掌握一些迭代法收敛的充分条件。本章内容是数值线性代数的重要的经典内容。本章计划讲授12学时,上机实验3学时。

 

二、课程内容

3.1  高斯消元法

Gauss消元法的符号描述、计算流程图及应用举例。

3.2  矩阵的三角分解法

矩阵的三角分解法的具体步骤及应用举例。

3.3  雅可比迭代

雅可比(Jacobi)迭代的具体步骤及应用举例。

3.4  高斯-塞德尔迭代

   高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代的具体步骤及应用举例

3.5   收敛性定理

    JacobiGauss-Seidel迭代的收敛性定理。迭代公式的矩阵表示。

三、重点、难点提示和实践教学

(一)重点:Gauss消元法;三角分解法;Jacobi迭代法;Gauss-Seidel迭代法。

(二)难点:收敛性定理。

(三)上机实验:1. 列主元消去法;2. 雅可比迭代,高斯-塞德尔迭代。

四、思考与练习

1. 说明解线性方程组的直接法与迭代法各自的特点。

2.  Gauss消元法包含哪两个过程?

3.  Gauss消元法、追赶法在存储量和计算量方面进行量化比较。

4.  比较Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的存储量。

第4章 插值方法

一、学习目的

通过本章的学习,掌握用代数多项式近似表达复杂的函数或用表格给出的函数的方法,熟练掌握常用的插值公式,理解插值逼近的性质与特点,初步掌握函数逼近误差分析的理论与方法。本章内容是数值计算的最基本的内容之一。本章计划讲授8学时,上机实验3学时。

二、课程内容

4.1拉格朗日插值公式

1、拉格朗日插值公式

拉格朗日(Lagrange)插值公式(以下统称为?Lagrange?插值公式)的基本思想。Lagrange 插值的应用

4.2牛顿插值公式
1
、由Lagrange 插值的缺点提出牛顿插值公式

Newton插值构造,差商表,插值多项式的构造,牛顿插值的承袭性。

2、差商性质:差商的对称性

3、牛顿插值的算法描述及算法分析

4.3  存在惟一性定理

Lagrange插值公式、NewtonAitken插值多项式

4.4  插值余项

插值余项及其估计。

4.5  三次样条插值

 样条一词的由来, 三次样条函数。

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点:Lagrange插值公式;Newton插值公式;插值余项公式。

(二)难点:各阶差商与Newton插值公式的系数的关系的推导;样条插值的推导。

(三)上机实验:1. Newton插值计算;2. 拉格朗日插值计算。

四、思考与练习

1. 分析Lagrange插值公式优点与缺点。

2.    分析Newton插值公式优点与缺点。

3.  比较 次插值多项式与Taylor展开在函数逼近上的异同。

4. 分析Lagrange插值多项式、Taylor展开式、埃尔米特插值等函数逼近公式的余项公式的形式,找出余项公式的形式与函数逼近性质之间的对应联系。

5. 多项式插值是否次数越高越精确?

6. 分段低次插值是否段数越多越精确?

7.区间[a, b]上分段线性插值函数、分段二次插值函数是否在[a, b]上连续?是否在(a, b)上可导?

8. 区间[a, b]上分段三次埃尔米特插值函数是否在[a, b]上连续?是否在(a, b)上可导?是否在(a, b)上二阶可导?

第5章 曲线拟合

一、学习目的

     通过本章的学习,理解和掌握最小二乘拟合曲线的方法及曲线拟合的基本思想。本章计划讲授12学时,上机实验3学时。

二、课程内容

一般最小二乘问题

最小二乘逼近,问题的一般提法,法方程,最小二乘曲线拟合。

三、重点、难点提示和实践教学

(一)重点:最小二乘拟合曲线,曲线拟合。

(二)难点:曲线拟合。

(三)上机实验:最小二乘拟合曲线的实现。

四、思考与练习

1.  推导求解y =Ax的最小二乘线性拟合的正规方程。

2.  证明最小二乘拟合曲线的系数AB可用如下方法计算。

3.  求解最小二乘幂函数曲线拟合

4.  简述曲线拟合的基本思想

第6章 数值微分

一、学习目的

     通过本章的学习,理解和掌握中心差分公式,Richardson外推法,掌握误差分析基本方法。本章计划讲授4学时。

二、课程内容

6.1 导数的近似值

精度为O(h2)的中心差分公式)截断误差,精度为O(h4)的中心差分公式

6.2 Richardson外推法

Richardson外推法的内容与应用

 

三、重点、难点提示和实践教学

(一)重点:中心差分公式,Richardson外推法

(二)难点:Richardson外推法

四、思考与练习

1.  熟悉中心差分公式的基本思想

2阐述利用Richardson外推法计算数值微分的步骤

第7章 数值积分

一、学习目的

     通过本章的学习,理解和掌握构造数值求积公式的基本方法;熟练掌握Newton-Cotes公式;掌握Romberg算法和Gauss求积公式。本章内容是数值分析的经典内容之一。本章计划讲授8学时,上机实验3学时。

二、课程内容

7.1  基本概念

1.求积公式的一般形式

求积公式的一般形式,复化左矩形公式 

2、几种常用的积分公式

辛卜生公式的几何意义

3插值型求积公式

插值多项式 的构造,插值型求积公式

4代数精度的概念?

   Weierstrass定理。代数精度的概念,

 5插值型求积公式与代数精度的关系?

   建立插值型求积公式与代数精度的关系。?

  7.2  牛顿-柯特斯公式

1.公式的导出

    牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式

2.偶阶求积公式的代数精度?

3.Simpson公式的余项?

7.3  龙贝格算法

龙贝格算法的具体步骤及其应用举例。

7.4  高斯公式

中矩形公式。节点是Gauss点的充分必要条件

三、重点、难点提示和实践教学

(一)重点:Newton-Cotes公式及其复化公式;Gauss求积公式。

(二)难点:Romberg算法与实现。

(三)上机实验:复合Simpson公式计算积分。

四、思考与练习

1.  代数精度是否越高越好?

2.  证明:如果求积公式对 恒准确成立,则它对任何次数小于等于 的多项式准确成立。

3.  nNewton-Cotes公式是否随着n趋向无穷大收敛于所要计算的积分值?

4.  复化梯形求积公式 、复化Simpson求积公式 是否随着 趋向无穷大收敛于所要计算的积分值?

5.  说明逐次分半算法相对于一般复合求积公式序列算法的优点。

6.  说明逐次分半加速算法(即Romberg算法)中“加速”的含义?

7.  证明Romberg求积公式不是Newton-Cotes型的。

8.  评述Newton-Cotes公式及其复化公式、Romberg求积公式、Gauss求积公式等三类求积公式的特点。

 

第8章  常微分方程数值方法

 

一、学习目的

通过本章的学习,理解常微分方程数值求解的必要性;理解常微分方程初值问题的一般提法和数值解法的基本思想;熟练掌握Euler方法和改进的Euler方法;理解Runge-Kutta方法的思路,一般掌握Runge-Kutta方法;初步掌握计算格式的误差估计的方法,理解格式精度的阶数的意义;了解方程组初值问题数值解法。本章内容是数值分析的经典内容之一,是当代微分方程数值方法的入门基础常识。本章讲授加总复习计划12学时,上机实验3学时。

二、课程内容

一阶方程初值问题的数值解法

8.1 欧拉方法

1. 方向场,等斜线,

2 . Euler方法?

?Euler方法的具体步骤。

3. 误差?

局部截断误差。整体截断误差。

8.2  龙格-库塔方法

龙格-库塔(Runge-kutta)方法。Runge-kutta方法。

8.3  一阶方程组

求解一阶方程组的Runge-Kutta方法。

三、重点、难点提示和实践教学

(一)重点:Euler方法和改进的Euler方法;四阶Runge-Kutta方法。。

(二)难点:Runge-Kutta方法的思想。

(三)上机实验:四阶Runge-Kutta方法求解常微分方程。

四、思考与练习

1. 指出Euler方法、改进的Euler方法、四阶Runge-Kutta方法的优缺点

2. 简述Runge-Kutta方法实现高精度格式的思想。

3. 说明高精度格式的好处。

阅读书目

1. R. L. Burden, J. D. Faires, Numerical Analysis (Seventh Edition), Thomson Learning, Inc. (影印版),北京:高等教育出版社,2001

2. 何明编,计算方法,合肥:澳门新莆京娱乐网站出版社,1995

3. 奚梅成编,数值分析方法,合肥:中国科技大学出版社,1995

4.关治等.数值分析基础.北京:高等教育出版社,1998

5.蔡大用等.高等数值分析.北京:清华大学出版社,1996

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