加入收藏  || English Version 
 
《同调代数》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:1082


 

前 言

《同调代数》课程是数学与应用数学专业的专业选修课程。同调代数初成于上世纪40年代中期,是由著名数学家S.EilenbergS.Maclane等人的一系列重要工作奠基而成的一门学科,它的思想方法主要来自代数拓扑学中的复形的同调理论,它的研究对象主要是环模以及环模上的复形。在发展的过程中,同调代数充分地使用了范畴论中的方法和理论(因此使同调代数的一些结果可应用于更广的对象),并以Hom 以及它们的导出函子ExtTor作为最基本的函子,所以它能有效地给出环类的一些同调不变量(同调维数),使同类的环(尤其是同构的环)具有相同的同调不变量,从而给环论的研究提供了一个有力的新工具。现在,同调代数作为一种有力的工具已被应用于群论、交换代数、代数几何、微分几何、代数拓扑、微分拓扑、数论、偏微分方程、非交换调和分析等学科,并越来越受到重视。  

 设置本课程的目的是:向学生先容同调代数中最基础的,也是最精彩的内容:主要是同调,上同调,Tor, Ext和导出函子的定义和性质,同时先容三类特殊的模-投射模、内射模、平坦模它们的概念和由模对它们的分解而定义的同调不变量-投射维数、内射维数、平坦维数。

 

学习本课程的要求是:学生应了解同调代数中最基础的常识,掌握Hom 以及它们的导出函子ExtTor的定义和简单性质,并将其作用于三种典型的特殊模类-投射模、内射模、平坦模而得出各自不同的同调不变量。要求学生了解上述性质的同时,能够熟悉同调代数研究的方法,并能将其作为一种有力的工具应用到其他代数领域的研究。

 

先修课程要求:线性代数,高等代数,近世代数。

 

本课程计划:40学时2学分

 

选用教材:佟文廷编著, 同调代数引论,高等教育出版社(1998

 

教学手段:课堂讲授为主,学生报告为辅

 

考核方法:考查

 

教学进程安排表

周次

学时数

教学环节

备注

1

4

第一章 范畴与函子及其在模论中的应用  1.1 范畴

讲课

 

2

4

1.2 函子与自然变换

讲课

 

3

4

1.3 环模的张量积与函子

讲课与报告结合

 

4

4

1.4 模正合列与图追踪法

讲课与报告结合

 

5

4

1.5 函子Hom 的正合性

讲课与报告结合

 

6

4

1.6 直和与直积

讲课与报告结合

 

7

4

1.7 预加法范畴中Hom 与直和、直积的关系

讲课与报告结合

 

8

4

2.1 投射模与投射维数

讲课与报告结合

 

9

4

2.2 内射模与内射维数

讲课与报告结合

 

10

4

2.3 平坦模与弱维数

讲课与报告结合

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第一章  范畴与函子及其在模论中的应用

一、学习目的

通过本章的学习,学生应掌握范畴论中的最基本的一些概念与基本的结果。范畴、函子、正合性、直和、直积概念、性质,特殊函子-Hom 的正合性等。

、课程内容

§11范畴

先容范畴的概念。一般范畴的基本性质,始对象、终对象、零对象的概念和它们在范畴中的作用、唯一性。

 

§12函子与自然变换

先容研究两个范畴间关系或同一范畴内在联系的一种重要工具-函子,它的概念,简单性质和几种特殊的函子。另外先容了研究两个函子间关系的自然变换,它的定义和简单性质。

§13环模的张量积与函子

先容模的概念,它的简单性质。张量积以及张量函子 的定义和它们具有的性质。

§14模正合列与图追踪法

先容模正合列的概念和基本性质,图追踪的方法。

§15函子Hom 的正合性

先容正合函子(左正合、右正合)的概念,讨论两类特殊的函子Hom与张量函子 的正合性,事实上Hom函子是左正合的而张量函子 是右正合的。

 

§16直和与直积

先容模的直和、直积的定义。直和的泛性质,直积的泛性质。

 

§17预加法范畴中Hom 与直和、直积的关系

预加法范畴、加法范畴的概念。讨论预加法范畴中Hom 与直和、直积的关系。

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

 

1. 范畴与函子的定义及其基本结果。

2. 正合列的概念与图追踪法,Hom 与函子的定义和它们的正合性。

3. 熟悉同调代数研究的基本技巧。

 

(二)教学手段

 

课堂讲授与学生报告讨论相结合

 

四、思考与练习

 

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

第二章  特殊模与其相应的维数

一、学习目的

投射模、内射模和平坦模是环模论中最常见也是最基本的三大模类。投射模与内射模有着丰富的对偶性,内射模与平坦模之间也有着内在的联系,它们是同调代数和模论的主要研究对象。通过本章的学习,大家要掌握这三种特殊的模的定义和一些基本的性质,熟悉利用模对这三种特殊模的分解而给出的三种同调不变量,并在此基础上给出了环的同调维数-整体维数与弱维数,它们在刻画环的性质上起到了相当大的作用。

二、课程内容

§21 投射模与投射维数

先容一类特殊的模-投射模的概念、性质。通过模对投射模的投射分解给出模的左(右)投射维数,从而定义环的左(右)整体维数概念。并先容了关于投射维数的一些结果。

§22 内射模与内射维数

 

先容内射模的概念和性质。利用模对内射模的分解给出模的左(右)内射维数概念,从而定义环的左(右)内射整体维数,并先容了内射模与投射模之间的对偶性。

§23 平坦模与弱维数

 

先容平坦模的概念和基本性质,以及利用模的平坦分解而定义的左(右)平坦维数和环的弱维数的概念和性质,并先容了平坦模与投射模、内射模之间的联系。

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

 

1. 三种特殊模的概念和性质。

2. 三种模之间的联系,尤其是投射模与内射模之间的对偶性。

3. 利用模对三种特殊模的分解和定义同调不变量-维数的方法,几种维数之间的关系。

 

(二)教学手段

 

课堂讲授与报告讨论相结合

四、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

阅读书目(或参考文献)

1. 周伯壎著,《同调代数》,科学出版社,1999

2. A.Weibel(美)著,《同调代数引论》,机械工业出版社,2004

打印此页】【顶部】【关闭
   
版权所有 2019 澳门赌搏网站大全 All rights reserved 皖ICP备05018241号
地址:安徽省合肥市九龙路111号澳门新莆京娱乐网站磬苑校区理工楼H楼 邮编:230601 E-mail:math@ahu.edu.cn
访问统计:自2013年9月1日以来总访问:1000  后台管理


XML 地图 | Sitemap 地图