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《解析几何》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:518


             

《解析几何》课程是数学与应用数学、统计学和信息与计算科学专业三门专业基础课之一, 其内容主要是以向量代数为工具,利用代数的方法去研究空间中的平面和直线的位置关系与度量性质,探讨柱面、锥面、旋转曲面和常见二次曲面的几何性质,先容坐标变换、二次曲线方程的化简、正交变换、仿射变换等.为《数学分析》、《微分几何》等后继课程打下必备的基础.

设置本课程的目的是:通过本课程的学习 , 使学生熟悉向量代数这个基本的数学工具 , 全面掌握平面与空间直线各种位置关系的解析条件及几种典型二次曲面的几何性质,同时注重培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力.

学习本课程的要求是:使学生做到

1、将书上的基本常识点吃透,注意咬文嚼字;

2、注意训练空间图形的直观想象能力,要求不但会看图,还要会画图;

3、要求在上课时认真听讲,完成课上训练和课堂作业.

先修课程要求:初等数学.

本课程计划54学时,2学分

选用教材:丘维声,《解析几何》,北京大学出版社,1996

教学手段:课堂讲授为主,讨论与多媒体教学为辅

考核方法:教考分离.

  

教学进度安排表

周次

学时数

教学方法

备注

1

3

向量及其线性运算

理论课

 

2

3

仿射坐标系和直角坐标系

理论课

 

3

3

向量的内积

理论课

 

4

3

向量的外积

理论课

 

5

3

向量的混合积

理论课

 

6

3

仿射坐标系中平面的方程,两平面的相关位置

理论课

 

7

3

直角坐标系中平面的方程,点到平面的距离

理论课、习题课

 

8

3

直线的方程,直线、平面间的相关位置

理论课

 

9

3

点、直线和平面之间的度量关系

理论课

 

10

3

球面和旋转面

理论课

 

11

3

柱面和锥面

理论课

 

12

3

二次曲面、直纹面

理论课

 

13

3

曲面的交线,曲面所围成的区域的画法

理论课、习题课

 

14

3

平面的仿射坐标变换

理论课

 

15

3

矩阵及其运算

理论课

 

16

3

平面直角坐标变换

理论课

 

17

3

空间坐标变换

理论课

 

18

3

总复习

习题课

 

第一章  向量代数

一、学习目的

通过本章的学习,使学生掌握向量及其运算的概念,熟练掌握向量的线性运算和非线性运算的基本性质、运算规律和分量表示,掌握坐标系的概念,了解向量在初等几何中的应用,为以下各章利用代数方法研究空间图形的性质打下基础.本章计划15学时.

二、课程内容

§1 向量及其线性运算

(一)理解向量的概念及表示;

(二) 掌握向量的线性运算以及向量共线、共面的条件.

§2 仿射坐标系和直角坐标系

(一)理解仿射坐标系和直角坐标系的概念;

(二)会用三元有序数组描述空间点的坐标,并理解点的坐标与坐标系的一一对应关系;

(三)牢固掌握用坐标法进行向量的线性运算、分量表示及三点(或两向量)共线的条件.

§3 向量的内积

(一)理解向量内积的概念、性质和几何意义;

(二)掌握直角坐标计算向量内积的方法和直角坐标下两向量正交的充要条件;

(三)会计算向量的方向角和方向余弦.

§4 向量的外积

(一)理解向量外积的概念、运算规律及几何意义,掌握两向量共线的充要条件;

(二)掌握用坐标计算向量外积,特别是在右手直角坐标中的计算规律及其分量表示;

(三)了解二重外积公式并会计算二重外积.

§5 向量的混合积

(一)理解向量的混合积的定义、几何意义和性质;

(二)掌握三向量(或四点)共面的条件;

(三)了解拉格朗日恒等式并会用它来计算和证明.

三、重点、难点提示和教学手段

(一) 教学重点:重点是向量的线性运算和三种积运算的定义、运算规律及分量表示;

(二) 教学难点:难点是向量各种运算规律的论证及应用;

(三) 教学手段 : 讲授与讨论相结合 , 必要时辅以多媒体等教学手段.

四、思考与练习

     思考与练习见课后习题

 

第二章  空间的平面与直线

一、学习目的

通过本章的学习,使学生掌握空间坐标系下平面、直线的各种形式的方程,熟练掌握平面与空间直线间各种位置关系的解析条件,会求平面与空间直线间的各种距离和夹角,了解平面束的概念和方程.本章计划12学时.

二、课程内容

§1 仿射坐标系中平面的方程、两平面的相关位置

(一) 掌握仿射坐标系下平面方程的几种重要形式:参数方程和普通方程;

(二) 掌握两平面间位置关系的解析条件.

§2 直角坐标系中平面的方程,点到平面的距离

(一)理解直角坐标系中平面的点法式方程及其系数的几何意义;

(二)掌握点到平面的距离公式;

(三)掌握两个平面的夹角的定义及两平面正交的充要条件.

§3 直线的方程,直线、平面间的相关位置

(一)掌握空间直线的几种重要形式的方程:参数方程,标准方程,普通方程,两点式方程;

(二)掌握直线与直线的相关位置的解析条件;

(三)掌握直线和平面的相关位置的解析条件,并会计算直线与平面的交点.

§4 点、直线和平面之间的度量关系

(一)掌握点到直线的距离公式;

(二)掌握异面直线间的距离公式;

(三)掌握两直线的夹角,直线和平面的夹角的量化公式.

三、重点、难点提示和教学手段

(一) 教学重点:重点是平面与空间直线的各种形式的方程和平面与空间直线各种位置关系的解析条件;

(二) 教学难点:难点是利用解析条件分析位置关系和建立平面、直线方程;

(三) 教学手段 : 讲授与讨论相结合 , 必要时辅以多媒体等教学手段.

四、思考与练习

    思考与练习见课后习题

 

第三章  常见曲面

一、学习目的

通过本章的学习,使学生掌握柱面、锥面和旋转曲面的定义、方程求法和方程特征;牢固掌握五种常见二次曲面的定义及标准方程,了解它们的性质,会画它们的草图.本章计划12学时.

二、课程内容

§1 球面和旋转面

(一) 理解球面的定义,掌握球面的一般方程的求法,了解球面坐标;

(二) 理解旋转面的定义,掌握旋转面的一般方程的求法;

(三)牢固掌握坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转面方程的求法.

§2 柱面和锥面

(一) 理解柱面和锥面的定义,掌握柱面和锥面的一般方程的求法,了解柱面坐标

(二) 掌握母线平行于坐标轴的柱面方程的特点及求法;

(三) 掌握顶点在原点的锥面方程的特点以及圆锥面的求法.

§3 二次曲面

(一)掌握五种常见二次曲面(椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面)的定义及标准方程;

(二) 了解二次曲面的几何性质.

§4 直纹面

(一)理解直纹面的定义;

(二)了解二次曲面的直纹性.

§5 曲面的交线,曲面所围成的区域

(一)了解画空间图形常用的三种方法;

(二)会画二次曲面、曲面交线的草图;

(三)掌握曲线、曲面在坐标面上的投影的描述方法.

三、重点、难点提示和教学手段

(一) 教学重点:重点是常见二次曲面的定义和标准方程;

(二) 教学难点:难点是常见二次曲面的形状分析和二次曲面直纹性的证明;

(三) 教学手段 : 讲授与讨论相结合 , 必要时辅以多媒体等教学手段.

四、思考与练习

思考与练习见课后习题

 

第四章  坐标变换

一、学习目的

通过本章的学习,使学生掌握平面的仿射坐标变换、直角坐标变换的定义和性质;熟练掌握点、向量的仿射坐标变换公式和直角坐标变换中的过渡矩阵、移轴公式、转轴公式等坐标变换公式及其应用.本章计划12学时,总结与复习3学时.

二、课程内容

§1 平面的仿射坐标变换

(一) 理解点的平面仿射坐标变换公式的定义和性质,掌握两平面仿射坐标系间的坐标变换公式;

(二) 理解向量的平面仿射坐标变换公式的定义,了解点和向量的坐标变换公式的区别与联系.

§2 矩阵及其运算

(一) 理解矩阵的概念以及矩阵的运算,掌握坐标变换中的过渡矩阵

(二) 了解矩阵的分块和方阵的行列式;

(三) 理解逆矩阵的定义和性质,了解逆矩阵的求法;

(四) 理解正交矩阵的定义和性质,会判断矩阵的正交性.

§3 平面的直角坐标变换

(一)理解平面直角坐标变换公式,掌握直角坐标变换中的过渡矩阵的特点和求法;

(二) 理解移轴公式和转轴公式,了解实现右手直角坐标系间变换的方法;

(三)掌握点的右手直角坐标变换公式及求法,并会利用它判断在平面的右手直角坐标系中的函数所表示的曲线的类别.

§4 空间坐标变换

(一)  理解点的空间仿射坐标变换和直角坐标变换,掌握其下的过渡矩阵;

(二)  理解代数曲面、曲线的定义和次数.

三、重点、难点提示和教学手段

(一)教学重点:重点是点的直角坐标变换的定义和性质;

(二) 教学难点:难点是点的直角坐标变换的求法和函数图形的形状分析;

(三)教学手段 : 讲授与讨论相结合 , 必要时辅以多媒体等教学手段.

四、思考与练习

思考与练习见课后习题

教学参考书

1. 朱鼎勋,陈绍菱,《空间解析几何》,北京:北师大出版社,1984.

2 吕林根等编, 《解析几何》(第三版),高等教育出版社,1998.

3.  尤承业编, 《解析几何》, 北京大学出版社, 2003.

4.  吴田,《空间解析几何教程》,北京:高等教育出版社,2003.

5.  郑崇友等编,《几何学引论》(上册), 高等教育出版社, 2005.

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