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《近世代数》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:916


                                              前 言

《近世代数》课程是数学与应用数学专业的专业必修课程。它是现代数学的一个重要分支,是研究各种代数结构(即带有运算的集合)的一门科学,已成为进入现代数学的阶梯和基础。不仅在常识方面,而且在思想方法上对于学习和研究近代数学都起着明显而有力的作用,它的思想和方法已经渗透到数学的许多分支,形成新的数学领域。它的结果也已经应用到科学技术的不少领域(如计算机科学、理论物理、理论化学等)。

    

 设置本课程的目的是:向学生先容近世代数的最基本的概念、理论和方法,先容现代数学的基础常识,培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。从而满足学生对代数学进一步学习和研究的要求,满足其他数学领域及数学应用对代数的基本要求。

 

学习本课程的要求是:学生应了解近世代数的基本的概念和理论,掌握代数学研究代数结构的一般方法,注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力,能为以后的代数学习或其他数学领域的学习打下良好的代数学基础。

 

先修课程要求:集合论初步,线性代数,高等代数

本课程计划:72学时,4学分

选用教材:杨子胥编著, 近世代数(第二版),高等教育出版社(2003

教学手段:课堂讲授为主,习题课、课外辅导为辅

考核方法:考试

 

 

教学进程安排表

周次

学时数

教学环节

备注

1

4

集合;映射与变换;代数运算;运算律

讲课

 

2

4

同态与同构;等价关系与集合的分类

讲课与习题课相结合

 

3

4

群的定义与初步性质;群中元素的阶

讲课

 

4

4

子群定义与性质;循环群概念与性质;变换群定义与性质

讲课

 

5

4

置换群概念与主要性质;陪集、指数和Lagrange定理

讲课与习题课相结合

 

6

4

群同态与同构的简单性质;正规子群和商群概念与主要性质

讲课

 

7

4

群同态基本定理;群的同构定理

讲课

 

8

4

群的自同构群;共轭关系与正规化子;群的直积( );Sylow定理( );有限交换群(

讲课与习题课相结合

 

9

4

环的定义;环的零因子和特征

讲课

 

10

4

除环和域;环的同态与同构

讲课

 

11

4

n的剩余类环;理想定义与简单性质

讲课

 

12

4

商环与环同态基本定理;素理想和极大理想

讲课

 

13

4

环与域上的多项式环;分式域( );环的直和( );非交换环(

讲课

 

14

4

相伴元和不可约元;惟一分解整环定义和性质

讲课

 

15

4

主理想整环定义与性质;欧氏环定义与简单性质

讲课与习题课相结合

 

16

4

分解整环的多项式扩张( );扩域和素域

讲课

 

17

4

单扩域;代数扩域;多项式分裂域

讲课

 

18

4

有限域;可离扩域( );复习迎考

讲课与习题课相结合

 

 

*号的内容,教师在教学中视实际情况决定取舍。

 

 

 

第一章  基本概念

一、学习目的

通过本章的学习,能够熟练掌握近世代数中常见的一些基本概念和符号,初步了解近世代数课程研究的对象和一般的研究方法。

二、课程内容

§11 集合

§12 映射与变换

映射的定义,单射,满射,双射(一一映射);变换的定义,单射变换,满射变换,双射变换。

§13 代数运算

代数运算的定义及表示法,二元运算的概念。

§14 运算律

运算律的定义,结合律,交换律,分配律的定义。

§15 同态与同构

同态与同构的定义,以及基本性质

§16 等价关系与集合的分类

关系、等价关系和集合分类的定义,等价关系与集合分类之间的关系。

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

 

1. 同态与同构的概念以及基本性质。

2. 等价关系概念的理解。

3. 等价关系和集合分类之间的“一一对应”关系。

 

(二)教学手段

 

课堂讲授与习题课相结合

四、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

第二章 

一、学习目的

通过本章的学习,熟练掌握群和子群的定义和初步性质,群中元素阶的定义和一些基本的结论,能够掌握一些特殊的群,如循环群、变换群、置换群的定义和性质。理解陪集和指数的概念,并能运用Lagrange定理解决一些简单的问题。

 

二、课程内容

§21 群的定义和初步性质

一般群的几种等价定义。单位元、逆元的概念,掌握群的基本性质,以及对于有限群的特殊定义。

§22 群中元素的阶

群中的元素阶的定义,理解关于元素阶的几个性质定理并学会应用。

§23 子群

子群的定义,子群的一些简单的性质,一个集合作成一个子群的几个等价命题,另外对于有限集合来说判定是子群的等价条件。能够利用上述的等价条件判定一个非空集合是否作成一个群的子群。

§24 循环群

循环群作为一类已经被完全搞清楚的群,要掌握它的定义和它的简单性质。另外在同构意义下循环群只有两类。能判定循环群的的生成元的个数,包括有限循环群和无限循环群。

§25 变换群

熟知变换群的定义和关于变换群的一些性质,理解任何群都同一个(双射)变换群同构。

§26 置换群

    掌握置换群、k-循环、对换的概念,能够将一个置换写成不相连的循环的乘积,并会计算一个置换的逆。

§27 陪集、指数和Lagrange定理

理解陪集、指数的概念,熟练掌握陪集的性质。掌握Lagrange定理并能应用它解决一些实际问题。

 

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1. 群的几种等价定义,判定一个群的非空集合是子群的方法。

2. 几种特殊的群类的定义与性质。

3. Lagrange定理的证明与实际应用。

(二)教学手段

 

课堂讲授与习题课相结合

四、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

第三章  正规子群和群的同态与同构

一、学习目的

正规子群是一种特殊的子群,它在整个群的讨论中起着非常重要的作用。通过本章的学习,大家将正规子群与群的同态和同构结合起来,能够熟练掌握群论中最基本最重要的一些结果,如群的同态基本定理、群的同构定理。了解Sylow定理和群的直积的概念和简单性质。

 

二、课程内容

§31 群同态与同构的简单性质

群同态(同构)下单位元、逆元的对应关系,子群的对应关系定理。

 

§32 正规子群和商群

正规子群和商群的定义、基本性质,正规子群在同态(同构)下的对应。单群的定义以及有限交换群作成单群的一个充要条件。

§33 群同态基本定理

群同态基本定理的内容和证明,以及由同态基本定理得出的一些结论。

§34 群的同构定理

群的三个同构定理内容及证明。

§35 群的自同构群

群的自同构群的定义和它的一些基本性质。

§36 共轭关系与正规化子

共轭元素、共轭子集、共轭子群、正规化子的概念,它们的简单性质以及它们之间存在的关系。

§37 群的直积

群的直积的定义和简单性质。不可解群、完全可解群的定义和性质。

§38  Sylow定理

三个Sylow定理的内容、证明和简单应用。

§39 有限交换群

有限交换群基本定理,有限交换群的一些性质。

 

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1. 正规子群和商群的定义和性质。

2. 群的同态基本定理的证明和简单应用。

3. 群的三个同构定理的证明和简单应用。

(二)教学手段

 

课堂讲授与习题课相结合

四、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

第四章  环与域

一、学习目的

环、域是相对与群来说较复杂的代数系统,是抽象代数研究的主要内容之一。通过对本章的学习,大家要熟练掌握环与域的定义和初步性质,以及子环、理想、环同态基本定理和一些常见的重要的环与域。

 

二、课程内容

§41 环的定义

环、子环的定义和它们的一些简单性质。

§42 环的零因子和特征

环的零因子、幂零元的定义。无零因子环的简单性质。

§43 除环和域

除环和域的定义以及它们的简单性质。

§44 环的同态与同构

环同态、同构的概念。环同态、同构时两个环对应的性质。

§45 n的剩余类环

先容一类特殊的环-模n的剩余类环的简单性质。

§46 理想

环的左、右理想的概念,判定一个环的子集是理想的方法,环的理想的一些简单性质。

§47 商环和环同态基本定理

商环的定义。环同态基本定理以及第二、第三同构定理的内容和证明以及简单的应用。

§48  素理想和极大理想

素理想、极大理想的定义。环的素理想、极大理想的判定以及它们之间的关系。

§49 环与域上的多项式环

先容一类具体的环-多项式环的简单性质。

§410  分式域

    先容由一个整环扩大成的域-分式域。

§411 环的直和

先容环的直和的定义和关系直和的简单性质。

 

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

 

1. 环的概念和环的基本性质,环的零因子、特征。

2. 环同态与同构基本性质,环同态基本定理。

3. 环的理想的概念,环的理想的性质

4. 两类特殊的环-模n的剩余类环,多项式环的定义和性质。

(二)教学手段

 

课堂讲授与习题课相结合

四、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

第五章  惟一分解整环

一、学习目的

整数环中的每一个合数都可以惟一的分解成素数的乘积;数域上的每一次数大于零的可约多项式都可以惟一的分解成不可约多项式的乘积,这是整数环和数域上的多项式环中元素最基本最重要的性质之一。在这一章里,大家要整数环和多项式环的讨论推广到更一般的环上去。通过本章的学习,大家要掌握惟一分解环的定义和性质,特别是两类特殊的惟一分解环-主理想整环和欧氏环的性质。并注意领会在代数研究中由特殊到一般,再由一般到特殊的方法。

 

二、课程内容

§51 相伴元和不可约元

环里面相伴元、素元、可约元、不可约元的定义以及它们之间的关系。

§52 惟一分解整环的定义和性质

惟一分解整环的定义和它具有的简单性质。

§53 主理想整环

先容一类特殊的惟一分解整环-主理想整环。它的定义以及具有的特殊性质。

§54 欧式环

先容另一类特殊的惟一分解整环-欧式环。它的定义、简单性质以及欧式环同主理想环之间的关系:欧式环一定是主理想环。

§55  惟一分解整环的多项式扩张

    先容环的扩张的定义,并先容如何将一个惟一分解整K扩张成它的一个多项式环K[x]

 

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1. 惟一分解环的定义和它的基本性质。

2. 特殊的惟一分解整环-主理想整环的性质。

3. 特殊的惟一分解整环-欧式环的性质。

4. 学习和掌握代数研究中由特殊到一般,再由一般到特殊的研究方法。

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

四、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

第六章  域的扩张

一、学习目的

域是许多数学分支(如代数、代数数论、代数几何等)研究的基础,因为域只有平凡理想,因此不能象环一样通过它的理想来研究。本章大家通过域的扩张对域进行研究,主要有单扩域、代数扩域、分裂域和有限域。通过这一章的学习大家要了解上述几种扩域的一些基本的性质,并要求领会研究域的最基本的方法――扩张。

二、课程内容

§61 扩域和素域

先容扩域和素域的定义和它们的简单性质。

§62 单扩域

先容将一个域扩张成单扩域的方法,以及所得的单扩域的一些性质。

§63 代数扩域

先容代数扩张、超越扩张的定义,并先容了将代数扩张的一些性质。

§64 多项式的分裂域

先容分裂域的定义和它的简单性质。

§65 有限域

讨论一类特殊的域――有限域,它的一些性质。

§66 可离扩域

先容可离扩域的定义和它的一些性质。

三、重点、难点提示和教学手段

(一)重点、难点

1. 扩域与素域的概念和它们的简单性质。

2. 几类扩域――单扩域、代数扩域、分裂域的性质。

3. 了解和掌握代数中研究域的方法――扩张。

(二)教学手段

课堂讲授与习题课相结合

 

四、思考与练习

(注:思考与练习的形式有教师自行确定)

 

阅读书目(或参考文献)

1 吴品三著,《近世代数》,高等教育出版社,1979

2 张禾瑞著, 《近世代数基础》,高等教育出版社,1979

3 熊金淹著, 《近世代数》,武汉大学出版社。

4 刘绍学著, 《近世代数基础》,高等教育出版社。

5 N.Jacobon 著, Basic Algebra I》。

 

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