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《偏微分方程》教学大纲

  发布日期:2015-03-11  浏览量:453


                         

《偏微分方程》是数学与应用数学专业重要的专业基础课之一。偏微分方程理论始于数学物理方程的研究。它既有悠久的历史,又不断地更新着它的对象、内容和方法。偏微分方程学科已经成为数学中的一门重要的分支。本课程主要研究的是偏微分方程中数学物理方程。数学物理方程主要指从物理学及其其它各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程。随着偏微分方程理论的发展,数学物理方程已经成为纯粹数学的许多分支和自然科学各部门及工程技术领域之间的一个重要的桥梁。

设置本课程的目的是一方面要求学生能够理解、掌握波动方程、热传导方程和调和方程的基本性质与求解方法。另一方面要求学生在学习基本理论和求解方法的同时,注意理解处理问题的思想方法。

学习本课程的要求是:学习者应掌握三类典型的二阶线性偏微分方程的基本理论和方法。会运用偏微分方程常识求解和说明来源于物理、几何、生物和化学等学科的实际问题。

偏微分方程是应用数学专业的一门必修课程,从课程的地位来说,它是专业基础课,对于后续课程的研究起着很重要的作用

 

本课程计划总学时72学时,4学分。

预备课程:数学分析 线性代数 复变函数 常微分方程

选用教材:谷超豪等.   数学与物理方程(2).      高等教育出版社,2002

教学手段:课堂讲授为主,习题课、课外辅导为辅

考核方法:考试

  

 

教学进程安排表

周次

学时数

 教学主要内容

教学环节

   备注

1

2

第1章        波动方程

1.1方程的导出、定解条件

 

讲课

 

1

2

1.2达朗贝尔公式、波的传播

讲课

 

2

4

1.3边值问题的分离变量法

讲课

 

3

2

1.4高维波动方程的柯西问题

讲课

 

3

2

1.5波的传播与衰减

讲课

 

4

2

1.6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性

讲课

 

4

2

课后习题

习题课

 

5

2

第二章 热传导方程

2.1热传导方程及其定解问题的导出

2.2初边值问题的分离变量法

自学+讲课

 

5

2

2.2初边值问题的分离变量法

讲课

 

6

2

2.3柯西问题

讲课

 

6

2

2.4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性

讲课

 

7

2

2.4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性

2.5解的渐进性态

讲课

 

7

2

课后习题

习题课

 

8

2

第三章 调和方程

3.1 建立方程、定解条件

讲课

 

8

2

3.2格林公式及其应用

讲课

 

9

2

3.2格林公式及其应用

3.3格林函数

讲课

 

9

2

3.3格林函数

讲课

 

10

2

3.4强极值原理、第二边值问题解的唯一性

讲课

 

10

2

课后习题

习题课

 

11

2

第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结

4.1二阶线性方程的分类

讲课

 

11

2

4.2二阶线性方程的特征理论

讲课

 

12

2

4.3三类方程的比较

讲课

 

12

2

4.4先验估计

讲课

 

13

2

4.4先验估计

讲课

 

13

2

第五章 一阶偏微分方程组

5.1引言

5.2两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论

5.3两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题

讲课

 

14

2

5.4两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题

5.5幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理

自学+讲课

 

14

2

课后习题

习题课

 

15

2

第六章 广义解与广义函数

6.1广义解

6.2广义函数的概念

讲课

 

15

2

6.2广义函数的概念

讲课

 

16

2

6.3广义函数的性质与运算

讲课

 

16

2

6.4广义函数的傅立叶变换

讲课

 

17

2

6.5基本解

讲课

 

17

2

课后习题

习题课

 

18

2

总复习                         

讲课

 

18

2

总复习

习题课

 

 

 

 

  

第一章 波动方程

一、学习目的

    掌握弦振动方程的达朗贝尔解法和初边值问题的分离变量法,了解叠加原理及掌握叠加原理的运用。掌握能量不等式推导的思想及如何运用到柯西问题和初边值问题的解的唯一性与稳定性的研究中。本章计划16学时。

 

二、课程内容

1.1方程的导出、定解条件

重要概念:偏微分方程、偏微分方程的阶、线性方程、拟线性方程、定解条件、齐次方程、齐次边界条件、齐次初始条件。

1.2达朗贝尔公式、波的传播

重要概念:叠加原理、齐次化原理。

重要公式:达朗贝尔公式

基本理论:弦振动方程柯西问题的求解方法——达朗贝尔解法、用齐次化原理求解非齐次方程。

达朗贝尔公式的推导的理论基础在第四章将会讲到,对于达朗贝尔公式关键是理解其推导方法,这样才能灵活运用。

在以后的学习中,还将遇到齐次化原理,不同的问题其齐次化原理的表述是不同的,但其思想都是一样的,这点需要注意。

1.3初边值问题的分离变量法

基本理论:分离变量法、齐次化原理、齐次化边界条件

本节用分离变量法求解了一类波动方程的初边值问题,这个方法在后面的热传导方程中仍将遇到,所采用的步骤都一样。这里需要注意的是分离变量法所适用的问题必须有两个齐次,即方程齐次和边界条件齐次。对于非齐次方程的齐次边界的定解问题可以用齐次化原理

去求解,而齐次方程的非齐次边界条件的定解问题可以用齐次化边界条件求解。如果遇到方程和边界条件都是非齐次的,可以用叠加原理将这一个复杂问题化为刚才所提到的两个稍微简单的问题。

1.4高维波动方程的柯西问题

基本理论:球平均法、降维法

要理解为什么本节先求解三维的波动方程的柯西问题,再用降维法去把二维的波动方程的柯西问题转化为三维的波动方程的柯西问题来求解。球平均法为什么不能直接用在二维的波动方程的柯西问题上?

这里需要指出的是球平均法的思想本质是通过作一个函数的球平均来将三维柯西问题化为弦振动方程的柯西问题。

1.5波的传播与衰减

重要概念:依赖区域、决定区域、影响区域、惠更斯原理

基本原理:波动方程的衰减

本节的内容主要是理解。

1.6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性

基本理论:能量估计

  

三、重点、难点提示和教学手段

重点:1达朗贝尔公式

2.分离变量法

3.能量估计

难点:分离变量法

 

四、思考与练习

1.分离变量法所适用的前提为什么需要两个齐次?

2.如何将边界条件齐次化?

 

第二章  热传导方程

一、学习目的

1.掌握如何运用分离变量法来求解热传导方程的初边值问题。

2.掌握如何运用傅立叶变化来求解热传导方程的柯西问题。

3.掌握热传导方程的极值原理,并能灵活运用。

本章计划12学时。

 

二、课程内容

2.1热传导方程及其定解问题的导出

2.2初边值问题的分离变量法

基本理论:分离变量法

2.3柯西问题

重要概念:傅立叶变换

基本理论:傅立叶变换法求解柯西问题

2.4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性

重要概念:抛物边界

基本理论:极值原理

在后面大家还将先容调和方程的极值原理,它比热传导方程的极值原理“更好”。

2.5解的渐近形态

基本理论:初边值问题和柯西问题解的渐近形态

  

三、重点、难点提示和教学手段

重点:1.分离变量法

2.傅立叶变换法。

3.极值原理

难点:1. 分离变量法。

2. 极值原理的运用

四、思考与练习

1. 如何用分离变量法求解圆形区域上的热传导问题

2. 极值原理的证明

 第三章调和方程

一、学习目的

1.了解调和方程的边界条件和边值问题的提法

2.理解如何运用格林公式推导出调和方程的平均值公式

3.掌握调和方程的极值原理。

4.会求解一些简单的格林函数

本章计划12学时。

 

二、课程内容

3.1建立方程、定解条件

重要概念:拉普拉斯方程的外问题

3.2 格林公式及其应用

重要公式:格林公式、平均值公式。

基本原理:极值原理

3.3格林函数

重要概念:格林函数

基本理论:静电源像法求解三维球形区域上的格林函数、调和函数的基本性质。

重要公式:哈那克不等式

3.4强极值原理、第二边值问题解的唯一性

基本原理:强极值原理

 

三、重点、难点提示和教学手段

重点:1.运用格林公式推导调和方程解的表达式。

2.静电源像法求解特殊区域上的格林函数。

3.极值原理和强极值原理

难点:1.静电源像法

2.极值原理和强极值原理的运用。

四、思考与练习

1.为什么要引进格林函数?

2.格林函数性质的证明。

3.一般的椭圆型方程的极值原理怎样表述及如何证明?

  

第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结

一、学习目的

1. 掌握两个自变量的二阶线性方程的化简。

2. 了解二阶线性方程的特征理论

3. 了解三类方程的解的性质、定解问题的提法等方面的差别。

本章计划10学时。

 

二、课程内容

4.1  二阶线性方程的分类

重要概念:特征方程、双曲型方程、抛物型方程、椭圆型方程

基本理论:方程的分类及两个自变量的二阶线性方程的化简。

4.2 二阶线性方程的特征理论

重要概念:弱间断解、特征曲面、特征方程、特征方向。

基本理论:二阶线性方程的特征理论

4.3 三类方程的比较

4.4先验估计

重要概念:先验估计

重要公式:弗里德里克斯不等式

基本理论:格林公式在能量估计中的运用

 

三、重点、难点提示和教学手段

重点:两个自变量的二阶线性方程的化简。

难点:两个自变量的二阶线性方程的化简和先验估计。

 

四、思考与练习

1. 如何证明在两个自变量的二阶线性方程的化简中所作的变换是可逆变换?

2. 达朗贝尔公式的推导与两个自变量的二阶线性方程的化简的关系?

                    

第五章  一阶偏微分方程组

一、学习目的

1. 了解两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论。

2. 理解逐次逼近法求解两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题

3. 了解两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题

4. 了解幂级数解法

本章计划6学时。

 

二、课程内容

5.1  引言

重要概念:经典解

基本理论:一阶微分方程组与高阶方程的关系

5.2  两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论

重要概念:特征方程、特征线、特征线方向

基本理论:将严格双曲型方程组化为对角型

5.3  两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题

基本理论:逐次逼近法

5.4两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题

5.5 幂级数解法、柯西—柯瓦列夫斯卡娅定理

基本理论:幂级数解法

 

三、重点、难点提示和教学手段

重点:逐次逼近法

难点:逐次逼近法

四、思考与练习

如何运用逐次逼近法求解两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题?

 

 第六章广义解与广义函数解

一、学习目的

1. 掌握广义函数概念及性质。

2. 理解广义函数的傅立叶变换

3. 会求解一些简单问题的基本解

本章计划12学时。

 

二、课程内容

6.1  广义解

重要概念:强解、弱解、广义解、紧支集

6.2  广义函数的概念

重要概念:广义函数、基本函数空间

6.3广义函数的性质与运算

重要概念:广义函数的极限、广义函数的导数、广义函数的乘子、广义函数的卷积。

6.4广义函数的傅立叶变换

基本理论:广义函数的傅立叶变换

6.5基本解

重要概念:热传导方程柯西问题的基本解、三维波动方程柯西问题的基本解、调和方程的基本解。

 

三、重点、难点提示和教学手段

重点:1. 三类广义函数空间概念。

2.广义函数的运算

3基本解

难点:1. 三类广义函数空间概念

2基本解。

四、思考与练习

1 为什么要引进广义函数?

2 基本解该如何定义及求解?

 

参考书目

[1] 陈祖墀, 《偏微分方程》, 中国科学技术大学出版社,2002

[2] 姜礼尚等,《偏微分方程选讲》,高等教育出版社,1997

[3] 姜礼尚,《数学物理方程讲义》,高等教育出版社,2003

 

 

 

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