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研究生课程《有限域课程》教学大纲

  发布日期:2016-11-24  浏览量:308


课程编号:Math2097

课程名称:有限域

英文名称:Finite fields

                                

开课单位:澳门赌搏网站大全                             开课学期:

课内学时:36                                     教学方式:讲授

适用专业及层次:基础数学专业               考核方式:考试

预修课程:近世代数、初等数论

一、教学目标与要求

本课程较全面、系统地先容有限域的基本理论、方法和某些应用,重点是有限域元素表示与有限域的结构、有限域上的多项式与多项式的分解、计算多项式的根与指数和、有限域上的方程与二次型、线性循环移位序列及其有限域的应用等,难点是多项式,有限域上的多项式有不可约多项式、本原多项式、多项式、线性化多项式、置换多项式、二次型多项式等,对于这些多项式的分解和计算根有不同的方法。通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证,培养研究生的抽象思维与逻辑推理能力,提高研究生的数学素养。在重视数学论证的同时,强调有限域在代数编码与密码中的作用,培养研究生应用数学常识与解决实际工程技术问题的能力。通过本课程的学习,要求研究生掌握有限域的基本理论和方法,为学习后继课程、开展科学研究打好基础。

二、课程内容与学时分配

    第一章  代数基础(2学时)

        11                               12  环和域

        13  多项式                         14  域扩张

第二章  有限域的结构(6学时)

    21  有限域的刻画                   22  不可约多项式的根

        23  迹,范数,基                   24  单位根和分圆多项式

        25  有限域的元素表示               26  Wedderburn’s 定理

第三章  有限域上的多项式(6学时)

        31  多项式的阶和本原多项式         32  不可约多项式

        33  不可约多项式的构造             34  线性化多项式

        35  二项式和三项式      

第四章  多项式的因式分解(6学时)

        41  小有限域上的因式分解           42  大有限域上的因式分解

        43  多项式根的计算                    

第五章  指数和(6学时)

        51  特征                           52  Gaussian

        53  Jacobi                       54  多项式参数的特征和

55  特征和的进一步结果

第六章  有限域上的方程(2学时)

        61  数解得基本结论                  62  二次形式

        63  对角等式                        64  Stepanov-Schmidt 方法

第七章  置换多项式(3学时)

        71  置换多项式的条件                72  置换多项式的特殊类型

        73  置换多项式群                    74  特殊多项式

        75  多元置换多项式

第八章  线性递归序列(3学时)

        81  反馈转换暂存器                  82  最小二乘估计

        83  生成函数                        84  极小多项式

        85  一类线性递归序列                86  线性递归序列的特点

        87  线性递归序列的部分性质

   第九章  有限域的应用(2学时)

        91  线性码                          92  循环码

        93  有限几何学                       94 组合学

        95  线性模块化系统

   第十章 

        101  有限域中的计算                 102  不可约多项式列表

三、教材                      

Rudolf  Lidl  and  Harald  Niederreiter,  Finite  fields, Cambridge University Press, 1997.

主要参考书

    1.冯克勤、李尚志、查建国、章璞,近世代数三百题,高等教育出版社,2010.

2.潘乘洞,简明数论,北京大学出版社,1988.

    3.杨子胥,近世代数(第三版) ,高等教育出版社,2011.

4.张禾瑞,近世代数基础,高等教育出版社,修订版.

5. 林东岱,《代数学基础与有限域》,高等教育出版社出版2006.

大纲撰写负责人: 施敏加                      授课教师:施敏加

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