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研究生课程《现代偏微分方程理论》教学大纲

  发布日期:2016-12-23  浏览量:370


课程编号:Math2078

课程名称:现代偏微分方程理论

英文名称:Theories of Modern Partial Differential Equations 

                                

开课单位: 澳门赌搏网站大全                     

开课学期:

课内学时: 36                               

教学方式: 讲授

适用专业及层次:应用数学专业硕士            

考核方式: 考试

预修课程:泛函分析, 广义函数与Sobolev空间

 

一、教学目标与要求

本课程较全面地先容现代偏微分方程的基本理论和方法,重点是讲授二阶椭圆型方程边值问题弱解的存在性、正则性、经典解的极大值原理以及特征值与特征函数;二阶抛物型方程初边值问题弱解的存在性与正则性,经典解的极大值原理;二阶双曲型方程初边值问题弱解的存在性与正则性以及扰动的传播;半群理轮理论及其应用等。难点是理解Fredholm二择一定理并会应用它证明二阶椭圆型方程弱解的存在性、二阶椭圆型方程弱解的边界正则性的证明,强极大值原理,二阶双曲型方程初始扰动的传播,一阶对称双曲型方程组初值问题弱解的存在性证明,半群理论及其应用等。 通过本课程中基本理论与方法的先容,着重培养研究生的逻辑推理能力与实际应用能力,提高研究生的数学素养。在重视数学论证的同时,强调数学概念的物理背景。通过本课程的学习,要求研究生掌握二阶线性偏微分方程的一些基本概念、理论和方法,为后继课程的学习和从事相关问题研究奠定基础。

 

课程内容与学时分配

第一章       二阶椭圆型方程理轮(18学时)

11  一些基本概念

      111 椭圆方程

      112 弱解

12  弱解的存在性

      121 Lax-Milgram 定理

      122 能量估计

      123 Fredholm二择一定理

13  正则性

      131 内部正则性

      132 边界正则性

14  极大值原理

      141 弱极大值原理

      142 强极大值原理

      143 Harnack不等式

15  特征值与特征函数

      151 对称椭圆型算子的特征值

      152 非对称椭圆型算子的特征值

         

第二章       线性发展型方程理轮 18学时)

21  二阶抛物型方程

      211 定义

      212 弱解的存在性

      213 正则性

      214 极大值原理

22  二阶双曲型方程

      221 定义

      222 弱解的存在性

      223 正则性

      224 扰动的传播

      225 两个自变量的方程

23  一阶双曲型方程组

      231 定义

      232 对称双曲型方程组

      233 常系数方程组

24  半群理论

      241 定义与基本性质

      242 压缩半群生成元

      243 应用

    

四、教材                      

L.C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate studies in Mathematics, Volume 19, American Mathematical Society, 1998.

 

主要参考书

[1] 陈恕行,现代偏微分方程导论,科学出版社,2010

[2] 王术,Sobolev空间与偏微分方程引论,科学出版社,2009

 

大纲撰写负责人: 董柏青                   授课教师:董柏青、钮维生、陈正争等

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